我在翻译过程中看到几位读者对本书的评论， 还有一些刊物上的书评，以及读过部分内容的读者的意见。他们几乎一致的看法是，这本书有很高的独创性：在一门有近200年历史，而且已经有了数十部公认名著的基础分支学科里能够写出如此不同凡响的著作， 实在难得。
但是应该承认，本书仍然是一本基础教科书。因为一方面它的基本内容确实属于复分析的传统领域; 另一方面，它所要求于读者的预备知识也仅限于“比较认真地”读过微积分与线性代数（当然， “比较认真地”也是说起来容易做起来难）。那么，还有什么可以向读者说一说的呢？
一
这本书的书名就标明了可视化，可视化当然属于当前最热门的时尚“品牌”，而且完全是由信息技术派生出来的。
那么，本书的要点是否是教读者如何使用计算机之类的方法呢？否。本书确实强调计算机的作用，甚至许多习题需要用计算机来完成。但是，正如作者指出的那样，应该像物理学家对待实验室那样对待计算机：用它来发现或验证新思想，解决新问题。
作者认为，他的这本书出生于“牛顿的《原理》一书的创世纪中”。他从牛顿那里学到了方法，甚至学到了技巧。这就是强调问题的几何本质; 或者说，强调从事物的几何与物理侧面来直观地理解事物。
著名数学家克莱因（即埃尔朗根纲领的提出者）在他的名著《高观点下的初等数学》（此书中译本由复旦大学出版社出版）的第1卷关于“数学的现代发展及一般结构”的一节中指出，数学的发展和教学有三种进程，即进程A、进程B和进程C。
进程A的特点是强调概念的明确性，逻辑上的无懈可击，方法的单纯性，逐步演绎，环环相扣，绝无不必要的引申，总之，使数学成为严整的体系。其陈述方式是：定义、定理、证明、推论，等等，每句话、每个式子都要有根据。
进程B，这是克莱因特别推崇的进程，强调数学概念的生成和发展，强调各个分支的相互联系，强调逻辑推理背后的直觉和物理内涵。其陈述方式主张夹叙夹议，娓娓道来，生动活泼，发人深省。已故的吴大任教授在为《高观点下的初等数学》中译本写的序言中说，克莱因的思想可以用“融合”二字来概括：数学与物理学的融合，数学各分支的融合，逻辑推理与直觉的融合，还有数学的逻辑展开与历史发展的融合。
克莱因还以欧拉公式 
为例详细比较了进程A和进程B。他尖锐地批评了当时（指19世纪末）的德国数学教学。实际上，他的批评对我们今天的教学也完全适用：这个e是怎样来的？为何以它为底的对数称为自然对数？其“自然”何在？欧拉公式难道是天上掉下来的吗？
我自己就遇到过类似的问题：幂级数 
的每一项都没有周期，为什么加起来以后就出现了周期？总之，学生们在逻辑上接受了某个结论，不等于“实际上”理解了这个结论。这就是在教学上过分强调进程A带来的副作用。
本书作者强调自己是认真研究了牛顿的《原理》以后才理解的，必须从数学问题的直觉、经验的侧面去“体会”数学，才能得到真正的理解，才能“悟”其真谛。因此，他用了极大的精力去探求复分析的许多我们已经非常熟悉的结论的几何内涵和处理方法，包括对上述欧拉公式的理解。所以读后确有耳目一新之感。
比较克莱因的说法与作者的说法，这本书可以说是作者在按照进程B帮助读者教或学复分析上所做的努力，而作者取得的成功是有目共睹的。
进程C是另外一回事，这里不去讨论。
如果要比较进程A和进程B的优劣，就会得到进程B远优于进程A的结论。本书作者当然是这样看的。但是，克莱因尽管充分评价进程B，而且一直身体力行，但没有说出孰高孰低。他认为，这两种进程都为数学发展所必需，互相切磋，又互相补充。克莱因说得很对，在教学与研究中，采取哪一种进程， 视各人的学识素养与爱好而定，也视整个数学发展的需要而定。
为什么牛顿特别倾向几何学？至少部分由于在牛顿的时代几何学最为成熟，而且是人们（不只是牛顿）解决科学问题的最有力工具。牛顿以及他同时代的大科学家（还应加上伽利略）都是欧氏几何的高手。他的《原理》一书可以说是充满了求解“几何难题”的例子，以致微积分的基本思想——略去高阶无穷小，也时常隐藏在几何难题后面，所以读起来很难得其三昧。
说个笑话：如果你不能放开慧眼，从几何与物理角度审视问题，就难以看穿大千世界; 但是，如果你这样做了，立定足跟，循此渐进，自然能进入牛顿的不二法门——一种几何化的物理科学。
本书作者这样的做法，值得我们效仿。这当然有很大的难度。所以牛顿以后，如欧拉、拉格朗日和拉普拉斯，就以分析的方法来处理同样的问题。欧拉说过，完全几何的方法，时常难以解决力学问题， 或者只能部分地解决; 而拉普拉斯的名著《天体力学》则把天体运动的研究完全归结为研究微分方程。再考虑到微积分的基础经过两百多年的锤炼，借助 
语言得到了较完美的解决，进程A就占据了统治地位。当然，从几何和物理侧面考察问题的方法，也就退居后台了。
19世纪的数学发展，风向似乎又有了改变。这里起了决定作用的有高斯，特别是黎曼（他是本书特别推崇的大师）。“回到牛顿”可能是20世纪才有的口号，但是潮流的改变在当时已经十分明显。不妨说，这是本书的一条主线。但是，作者并没有简单地着力于几个几何难题（但是看来本书作者对几何难题情有独钟， 所以本书中有不少很有趣的几何题），所谓强调几何和物理实质，其具体内容读者能在书中看到。
这里需要特别强调的是，计算机的出现不仅对于研究工作的影响已经有目共睹，而且它为数学教学开辟了多么广阔的前景远非我们今天敢于估计的。作者将可视化展现在本书书名中，不但是由于数学的本质就有可视化这一侧面，而且由于今天的信息技术的现状使我们能够在前人无法想象的程度上揭示这个侧面。
当然，任何事物都有两个方面。强调了几何直觉一面，就有可能对于数学严格性有所忽视。作者并没有回避这一点。他明确地宣称，他总是把“洞察力”置于严格性之前。为了得到更深刻的洞察，宁可（在某种程度上）牺牲严格性。全书基本上没有用 语言，而且非常自由地把小量与无穷小量混起来用。作者常用“最终相等”之类的说法，时常把相差高阶无穷小就说成是相等。
当然，作者明白地说，这些说法都有确切的数学含义，但是他并不引述任何一本数学书，而是引证了一位大物理学家S. Chandrasekhar的 Newton's Principia for the Common Readers 一书（在这部关于复分析的近600页的大书里， 竟然没有魏尔斯特拉斯的名字， 这恐怕只能以作者是“性情中人”来解释了）。
读者当然会问，这样做利弊如何，是有利于学生更深刻地理解数学概念、方法、理论的实质，还是实际上在鼓励一种大而化之的空疏作风？这当然要看教学的实际情况而定。但是，问题并不如此简单。例如在第5章里，作者实际上宣布了，一个解析函数序列只要收敛，必可逐项求导。这当然是错了，但是，即使像柯西这样的大师，也犯过类似错误。正是阿贝尔以致魏尔斯特拉斯等人按照进程A的要求正确地处理了这个问题，否则就不会有今天的复分析。
至于译者，在大多数问题上是尊重了原作者的处理，但在这类问题上，就不能简单、客气地说原书错了，只好写一个比较长的脚注。这里并不是讨论数学方法论或教学论的合适地方，但是应该指出，并非所有数学概念、方法和理论都可以或者适合于可视化。进程B和进程A相辅相成甚至相反相成，能不能说，进程B帮助我们放开慧眼，而进程A则让我们立定足跟？对于译者， 本书的启示在于，数学书没有一个至高无上不得违抗的写法，现今最流行的不一定是最好的，更不一定是最适合你的。这就给学数学和教数学留下了广阔的创造空间。
二
一个数学分支被认为是基本分支，一门课程被认为是基础课，有两个原因：首先它从其他分支吸取营养; 其次它又影响其他分支的发展或其他课程的教学。数学和其他极为广博的科学一样.虽然是一座高耸入云的伟大建筑，必然有一些最为基础、影响又最为深远的思想和方法等，这些可以说是其精华。基础课的教学有一个无可推卸的责任，就是把这些精华交给学生。
为此，按当前流行的做法，就是开许多课程，各司其职，分兵把关。姑且不论多数学校有没有可能开这么多课程，即使开设了，也一定会助长各门课程孤立分离，看不到数学作为一个整体是如何在发展，有什么真正关键的问题。这也是进程A带来的副作用。因此，解决之道，在于从进程B找出路。
正如吴大任先生给克莱因的思想所做的概括：在融合二字上下功夫。下面看一下本书是怎样处理这个问题的。作者按照复分析发展的内在要求，也按照自己的科学兴趣，选择了三个问题，使读者能从数学发展的整体来看待复分析，引导读者走向更广阔的科学天地。
1. 几何学和非欧几何
什么是几何学？克莱因在他的《埃尔朗根纲领》里给出了回答：几何学所研究的就是几何图形在某类运动所成的群下面的不变性质。这本是每一个想学数学的大学生都应该了解的。遗憾的是，绝大多数大学生也就只是知道这一句话而已。似乎多数大学里也找不到一门课认真地解释这个极其重要的思想（但是有不少大学为文科学生开设的“数学与文化”之类的课程里却简单地介绍了一下）。
原因可能在于，现在我国多数大学数学系里，几何教学很不恰当地被削弱了，而一门几何课要能够认真地介绍《埃尔朗根纲领》，必定有相当份量，对教学两方面都是不轻的负担。
请看本书是如何解决这个问题的。“怎样来描述运动？”对于实轴的情况，运动简单地说就是
， 其中
和
都是实数， 而且
。对于二维欧氏平面，本书指出，只要进入复域，就立刻可见运动就是
，其中和都是复数，而且。作者这样讲，本是为了克服一个大家都知道是历史的虚构说法：“复数出现于需要求解二次方程
。”（这样讲最“方便”。）复数的出现深刻地适合了描述空间本性的需要，而非简单地来自什么“实际需要”。
作者还指出，物理学中有许多类似情况是复数的用武之地。例如（下面的例子是译者在教学中遇到过的， 而不一定就是作者心目中所想的， 因为作者的兴趣明显地在于理论物理等方面）我们在工科数学中都会讲如何用复数讲交变电流和振动现象，表面上看，这也是一种“方便”，其实，稍想一下就会发现，并不是电流、电压等取了虚数值，而是实数现在已经不足以描述它们。需要平面向量，而平面向量就是复数。这里的情况和二维欧氏平面的运动需用复数来描述是一样的。
读者自然会问，是否有一种“空间复数”足以描述三维欧氏空间的运动？从作者的分析看到，这是不可能的。怪就怪在，到了四维欧氏空间却又可能了，这就是四元数。对大学生讲四元数， “离经叛道”， 匪夷所思。
然而，作者非常顺畅地引导读者和他一同在这条思想的小道上漫步，真可谓“花径不曾缘客扫，蓬门今始为君开”。关键在于，放开慧眼，得到了一个深刻的洞察：数学为的是更加深刻地描述大自然。当然，这样做要有本事，具体说来就是要比较认真地读过线性代数。其实，所用的线性代数知识有限， 并无“超纲”之嫌，很容易懂。问题仍然在于，大学生们是否想过“线性代数还可以这样读”，那么很好， 这本书这样告诉你了，帮助你放开慧眼。
再转到非欧几何。这时我们遇到的情况也与以上说到的相仿，可能大多数学生知道的仅限于几何学中的一桩“公案”：过直线外一点对此直线是否可以做出恰好一条（或多于一条或少于一条）平行线，或者三角形三内角之和=（
， 
）π。但是，每一个学数学的学生都应该知道，在高斯，特别是黎曼以后，问题的症结就变得很明显了：“现实的物理空间是什么样的空间？是否是欧氏空间？”这个问题在黎曼手上成了一个微分几何问题。于是出现了内蕴几何与外在几何的区别和联系，出现了空间的度量问题、曲率问题， 等等。
贝尔特拉米发现曲率为-1的常负曲率曲面——伪球面上的几何就是双曲几何，即罗巴切夫斯基的非欧几何，他还做出了几个不同的伪球面映为平面的映射（本书就说是几种不同的地图），得到了罗巴切夫斯基的非欧几何的几种不同的“模型”。那么，非欧几何也是几何，按照克莱因的观点应该有相应的运动群。而庞加莱发现这些运动全是默比乌斯变换
。于是非欧几何与复分析的深刻内在联系浮出了水面。在讲复分析的同时也讲非欧几何就是题中之义了。
在20世纪50年代曾出版过一本从苏联引进的教材：普里瓦洛夫的《复变函数引论》，认真来说，它只是用小字号文字介绍了默比乌斯变换，并且兼及罗巴切夫斯基度量。后来大概再也没有哪本教材涉足于此。于是学生们对非欧几何的了解，最多也就是当作一桩公案，或者只知道一点公理系统的相容性独立性。对于它在现时数学发展中的地位作用就不明白了。
总之，我们失去了一个让学生接触一项数学精华的机会。本书可以说是“借题发挥”，简单而负责地介绍了有关知识， 使得大学生在低年级就能不太困难地接触内蕴几何的许多基本思想， 直到高斯的绝妙定理（Theorema Egregium），而且告诉学生们，如果想在这条微分几何的路上走下去，你可以读些什么。作者认为这是复分析的意义最为重大的一部分，这当然是由于他是彭罗斯的学生，走的是彭罗斯的路子。在此愿请读者去找一下华罗庚先生的《从单位圆谈起》一书。华先生也是沿着自己的学术道路（例如多复变函数论和矩阵几何等）介绍了许多关于非欧几何的知识，读后必可大获教益。
2. 拓扑学与复分析
拓扑学与复分析有着深刻的内在联系，这已是众所周知的事情。可以沿着多种不同的途径来揭示二者的联系。例如，把积分回路看成某个同调类的元，被积式（一个微分形式）看成上同调类的元，积分是二者的对偶。由此再进一步就到达了de Rham理论。许多书都是这样做的，只是走多远各有不同。
例如Ahlfors的名著《复分析》就给出了十分清晰简明的初步介绍。本书则由分析学的另一个基本问题开始，即方程
的解的存在问题。先看特别简单的一维问题。这时假定
在
上连续。如果记
问题就归结为求映射
（也在上连续）的不动点，即求一个
使得
一个非常本质的假设是：设
作为一个映射， 将映射到其自身。如果
或
已经是不动点， 自然无话可说了。
如若不然，则
; 同理
由连续函数的介值定理知道，一定存在至少一个
使得
， 即为所求的不动点。这个定理是极其重要的。如果是一个代数方程，在次数不高于4时，可以用根式和其他代数式把解写出来。5次以至于更高次代数方程的解用根式来表示的问题，则引申到群论的发现。这是另外一个故事了。如果就根的存在问题而言，第一个正确的证明应该归功于高斯 (1799)。高斯前后给出过好几个证明，最后才明确了必须在复平面上才能解决问题。复平面的提出者之一Argand 也就这个问题提出i就是旋转
看起来高斯本人对这个定理十分看重， 所以才称之为代数基本定理。
高斯的证明本质上是一个拓扑证明，而且就是依赖于上述的连续函数的介值定理。但是高斯并未认识到这是一个有待证明的重要定理，是波尔察诺指出了高斯的毛病。其实波尔察诺是想用我们现在使用的实数完备性的结果来证明，但他也不知道实数完备性理论一直到19世纪末才完全地确立。那么， 看起来需要的是在二维平面（即复平面）上建立上述的不动点定理。回到本书，作者不是简单地说代数基本定理是复分析的某个具体结果的推论，（是偶然的推论吗？）而是进一步看出复分析这么一大块都具有拓扑学的本质。
由辐角原理和鲁歇定理到代数基本定理，只不过是“这一大块”出其余绪而已。这样我们又一次得到了新的洞察，引导我们走向广阔的新天地。复变量的解析函数，作为从一个二维空间（z平面）到另一个二维空间（w平面）的映射，只不过是很大一类映射的特例。因此在本书的这一部分里，作者总是把解析映射和更一般的非解析映射对照起来，力图把解析映射的拓扑特性说明白。例如上面讲的不动点定理，在二维情况下就是：如果由
平面到
平面的连续映射（不一定解析）
把单位圆盘
映射到另一个单位圆盘
，则它必有至少一个不动点。这就是著名的布劳威尔不动点定理的二维情况。
一维情况的证明是很容易的（如果你认为连续函数的介值定理也算很容易的定理的话），二维情况的证明也不算难。但是更高维数的情况又如何？对于
维空间的单位球体，它仍然是对的。但是其证明就需要全新的概念和方法。这就是环绕数和映射度等。
作者由此进到霍普夫定理、奇点的指数、欧拉示性数、庞加莱—霍普夫定理等，直到发现连中学生都知道的欧拉公式
其实是一只“微笑着的大恐龙”！这块新天地有自己的尊神，例如庞加莱。我想借此机会请读者们，特别是大学生，看一篇文章：辛布洛特的《不动点定理》，见《现代世界中的数学》（齐民友等译， 上海教育出版社， 2004年， 第242~251页），可能有助于体会这个新世界是多么美丽而有趣。
3. 黎曼的思想
1851年， 黎曼发表了以高斯为评阅人的著名博士论文， 题为《单复变函数的一般理论基础》（“Grundlagen für eine Allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen complexen Grösse”）。高斯通常很少称赞他同时代的人，但是对于黎曼他却热情地称赞说：“黎曼先生提交的这篇论文令人信服地证实了他在这篇论文处理的主题上深刻而彻底的研究，表现了一种创造的、富有活力的、真正的数学才智，一种光辉的富有成果的独创性。”
黎曼的基本思想可以说是把函数概念从某种固定的代数形式（例如幂级数）下解放出来，而放在几何与物理学的基础上。为此，他使用了（宁可说是创造了）许多今天看来极其重要的概念和方法。他对解析函数的研究基本上是从柯西—黎曼方程出发， 即设
， 其中
和
是一对共轭调和函数。
是一个共形映射，为了确定它，需要在某个（或某些）边值条件下求和（或）
例如在条件
（已知函数）下求
，黎曼指出，为此只需求一个适合上述条件的函数
，使得所谓能量泛函（这个名词来自在物理上表示如静电场的能量）
达到最小值。黎曼把这个方法称为狄利克雷原理。
这并非由于狄利克雷发现了这个方法，事实上，William Thomson（即凯尔文勋爵， Lord Kelvin， 这是他的贵族封号， 而不是人名， 但是人们时常弄混了）、Kirchhoff， Stokes和高斯本人都使用了它。黎曼是因为这是狄利克雷教他的，所以这样称呼。黎曼用这个方法证明了共形映射的基本定理。尤其值得注意的是，黎曼是把复变量的解析函数作为静电场来处理的，而由把静电场看成一种理想流体的流场。所以，在物理上成立的，黎曼就认为在数学上也成立。他至少是把这样的方法看成探索数学真理的手段。这是十分值得注意的，而本书，特别是在最后三章里充分发挥了这一点。
黎曼在这篇博士论文中提出了现在以他的名字命名的几何对象——黎曼曲面。 现在的教本里通常要么根本不提黎曼曲面，要么就把它说成是一个奇怪的崂山道士可以钻过来钻过去的虚构的“曲面”——一切都是为了“方便”的权宜之计。这就离黎曼的思想相距太远了。黎曼曲面是具有深刻几何（准确些说， 是拓扑）内涵的数学对象，而一个解析函数的本性，可以说是由它的黎曼曲面决定的。
后来，由于克莱因和庞加莱等人的功绩，直到外尔（Hermann Weyl）1913年发表《黎曼曲面概念》（Die Idee der Riemannsche Fläche）这部名著，才明确了黎曼曲面是一个微分流形。由于微分流形的概念，再加上黎曼提出的许多新的拓扑概念或思想，因此说黎曼是拓扑学的奠基人之一绝不过分。黎曼的这些贡献对20世纪（以及21世纪）的数学发展影响如何深远， 绝非这里能够讨论的。我们只能就本书的写法，介绍一点情况，以供本书的读者参考而已。
如上所述，不妨认为黎曼的函数论是进程B的代表，那么，另一位大师魏尔斯特拉斯的函数论则可以说是进程A的代表。尽管黎曼和魏尔斯特拉斯互相很熟悉，他们的研究工作互相借鉴也很多，可是在函数论的发展方向上，二人却是针锋相对：魏尔斯特拉斯认为研究解析函数必须依托其具体的表示——幂级数。从一个幂级数开始，做一切可能的解析延拓所得的总体，魏尔斯特拉斯称之为一个analytic configuration。他认为如黎曼曲面那样的东西是“超验的”，即人类经验无法接受与理解的， 也是靠不住的。
魏尔斯特拉斯指出，黎曼的狄利克雷原理是错误的。因为对于所有“可容许”的函数
上面的能量泛函
所以集合
下有界，从而有下确界。但是，下确界不一定是最小值。魏尔斯特拉斯还举出了一个反例说明，一个有下确界的泛函可以根本达不到下确界，因此没有最小值。这个批评确实是击中了要害。据说当时的数学家们反而有一种如释重负的感觉，因为黎曼的基本思想虽有极大的说服力（也许可以说是“诱惑力”），可是黎曼的文章太难懂，甚至找不到一个具体例子。
有人说这就是“雄鹰不去抓苍蝇”！有了魏尔斯特拉斯，似乎就用不着再去跟黎曼较劲了。但是数学家是不会放弃这样精彩的几何与物理直觉的。经过好几十年的努力，直到1901~1902年才由希尔伯特“挽救”了狄利克雷原理，由此发展起来的理论对于当代的数学和物理等是极为重要的。不过要掌握它， 必须要有进程A的良好训练.经过希尔伯特“挽救”的狄利克雷原理也部分地失去了原来数学与物理学融合的风韵。这个“故事”是否能够说明，进程A和进程B甚至可以是相反相成的呢？
回到本书。作者感到遗憾地说，由于篇幅的限制，他不可能完全地介绍黎曼曲面的理论，虽然他也很想这样做。这是很自然的，因为这个理论确实超出了作为大学生基础课所能够容许的程度。但是本书最后三章的风格，恐怕在其他数学教材（不止是复分析教材）是未曾见到过的。作者把复解析函数的概念与理想流体的流场、静电场以及温度场完全地融为一体。可能读者会问，怎么能够要求一个数学的学生或老师知道那么多物理学呢？
作者说，尽管你对于电场可能很生疏，但是绝大多数人对于热和温度还是熟悉的。其实就静电场的理论而言，本书并未超出高中物理学多少。问题的症结可能是，学数学的时候总以为物理学是另一个天地，是我们管不了的；学物理的时候又很少想到，这也是数学的用武之地。总之，没有按照克莱因的进程B所要求的那样，在数学和物理学的融合上花力气。
请看本书，讲的是一个解析函数，也就如同在讲一个流场：它可能是源或者汇生成的，也可能是一个偶极子或多极子生成的；洛朗级数讲的无非就是把这些东西叠加起来，正幂部分表示在无穷远处有源或者汇或者其他什么，负幂部分表示有限远处有这些东西；在某一个流场内放进例如一个单位圆盘， 或者另一个障碍物R，流场的变化就是由R的外域到单位圆盘的外域的共形映射。这样的变化当然是存在的，这就意味着这个共形映射也是存在的。
当然我们还需要一个数学证明，但是应该理解，这个证明是对一个物理事实的数学说明，而这个物理事实也就是对一个数学结论的物理说明。这已经十分引人入胜了， 而且还发现了许多原来以为并无联系的结果，从双曲几何的视角来看原来是一回事。全书就结束在双曲几何的和弦的交响中。
如果要用几句话来说明这一大段文字的意思，那就是：学了一门基础课，就应该是打开了通向数学发展的主流的一扇门。可不可以说，这正是本书最值得注意的特点呢？
本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），作者：齐民友