“西蒙斯是一位传奇人物。”阅人无数的陈省身先生曾经这样说过[1]。作为两人的合作研究成果，“陈（省身）-西蒙斯不变量”在数学和物理学的文献中频繁出现。然而，包括陈省身在内所有熟悉西蒙斯的人也许都没有料到，这位一贯独立特行又刻意保持低调的数学人，后来竟成为在美国华尔街上呼风唤雨的金融大亨。


一     


西蒙斯（James Harris Simons，1938~2024），出生于美国马萨诸塞州牛顿市的一个犹太人家庭，祖父和父亲都是鞋厂老板；作为独子的西蒙斯并没有继承祖业，但投资赚钱的意识却早已融入其血液中。


西蒙斯从小就喜爱数学，他回忆道[3]：


我记得自己很小的时候就会计算2的任意次幂。当父亲告诉我卡车里的汽油会用完时，我感到很吃惊，心想这怎么可能！因为当你用掉车中一半汽油时还剩另一半，然后你再用掉一半又剩一半，可以一直这样下去。


小孩子关于车中汽油的思考竟如同2500年前古希腊的芝诺论和稍晚古代中国的庄子尺槌说，其中蕴涵了数学极限的思维逻辑。


其实，作为学生的西蒙斯并不太擅长计算，经常会犯计算错误，但这并不妨碍他认定自己天生就是学数学的。在牛顿市的牛顿中学上高中时，他顺利地通过了数学提高班的课程，随后考入麻省理工学院（MIT）数学系。在MIT第一年的春季学期中，不知天高地厚的他选修了一门研究生代数学课程，然后有这样的经历[3]：


我艰难地学习这门课，做着习题但并没有真正理解它们。到夏日里，我突然一下子全明白了，一切事情都清清楚楚。第二年，我选修了另外一门高级课程，又是同样的经历：一开始糊里糊涂，然后过了相当一段时间，一下子全明白了。


西蒙斯在MIT拼命地学习、拼命地玩。他和几位同学经常打牌到半夜1点钟，然后大伙挤进他的大众牌汽车，开车到布鲁克林镇上去吃夜宵。在镇上，他们会看到 MIT 两位著名数学教授，安布罗斯（Warren Ambrose，1914~1996）和辛格（lsadore Singer，1924~2021），也坐在小吃店里，点了一些食物，讨论数学问题直到凌晨两三点。他想，“这是一种奇妙的生活”，心甚向往之。他后来与年纪较轻的辛格教授成为好友（见下图）。


左起：西蒙斯、辛格和苏珊·霍克菲尔德（MIT前校长）


西蒙斯在MIT仅学习了3年，就于1958年7月获得学士学位毕业；同年9月，又回到 MIT 开始研究生阶段的学习。那时他一心想学微分几何。安布罗斯和辛格告诉西蒙斯，要学微分几何就去伯克利，找陈省身求教。于是，他来到了加州大学伯克利分校，这是在1959年。


不巧，当时陈省身已离开伯克利去欧洲访问一年。西蒙斯就在那里开始自学微分几何。自认为读懂了，就贴出布告让大家来听他讲，去听的人还真不少，其中甚至包括系里的教授。等陈省身从欧洲回到伯克利，西蒙斯已经有了一位代数学方向的导师，但他依然经常找陈省身请教。西蒙斯多年以后回忆道[4]：


虽然我并不是如同大家所认为的那样，一开始就跟随陈省身先生做研究，但是我在那里的时候，他经常给我极大的鼓励。当我证明了一个关于极小子簇的定理，打电话告诉他时，他说：“噢！整体的。整体的定理非常好。发现一个漂亮的整体定理总是很难得的。”


这对我真是莫大的鼓舞。那一刻，我只想飞快地跑回家，然后证明一百万个整体的定理。在那些年里，我主要研究极小簇，每当我得到一些整体的结果时，我就会打电话告诉陈省身先生：又是一个整体的定理！他总是很高兴地接听我的电话，从电话里，我还能感觉到陈太太也是同样的开心。


在伯克利紧张学习数学之余，西蒙斯还利用妻子芭芭拉的陪嫁钱做成了第一笔商业交易：买卖大豆赚了 500 美元。


1961年，西蒙斯获得了加州大学伯克利分校的数学博士学位。随即回到MIT做数学教师。一年后又去哈佛大学任助理数学教授。1964年，西蒙斯离开哈佛大学，受聘于美国国防研究所（Institute for DefenseAnalyses，IDA），从事为美国国家安全局破译密码的工作。IDA 不仅给了西蒙斯优厚的薪水，而且还允许他一半时间工作，一半时间做自己的数学研究。西蒙斯在此期间解决了关于普拉托问题和伯恩斯坦猜想的两个数学问题。在 IDA 的经历对于他后来在金融界取得成功有很大帮助。


1967年，IDA 所长，原美国参谋长联席会议主席泰勒（Maxwell Taylor）上将为《纽约时报杂志》撰文支持越南战争。文章发表后，西蒙斯写了一篇读者来信投给该杂志，信中表达了对泰勒所长的反对意见：“我们所里的一些人有不同的看法......符合理性国防政策的唯一可行做法是，尽最大可能迅速有效地撤军。”[6]很快，他被泰勒解雇了。


西蒙斯于是又回到了大学。1968年，他被聘为纽约州立大学石溪分校数学系主任。为什么资历尚浅的他能被委以如此重要的职务？西蒙斯解释道[3]：“我那时是一个做事雷厉风行的年轻人，总想把新东西安排得有条有理。大家知道我这一点。我获得了职位。”当时的石溪分校校长托尔（John Toll）所以会看中西蒙斯确有其原因。两年前，托尔为这所年轻大学的物理系聘请来诺贝尔奖获得者杨振宁，造成了一时的轰动。现在，他看中西蒙斯做事的冲劲，要求他也能为数学系招揽最杰出的人才。


西蒙斯果然不负厚望，他从欧洲以及美国各大学挖来了好几位一流的几何学家，其中包括来自德国波恩大学的格罗摩尔（Detlef Gromoll），来自美国密歇根大学的齐格（Jef Cheeger），以及来自苏联列宁格勒大学的格罗莫夫（Mikhae Gromov），等等。西蒙斯做了八年的系主任，终于把数学系建成为一个享有世界声誉的几何学中心。


在石溪分校期间，西蒙斯与陈省身合作，完成了一项重要的数学研究。他回忆道[4]：


当我开始做第二示性类（即现在所称的陈-西蒙斯不变量）的工作时，我把最初得到的一些结果拿去给陈省身看。我很庆幸自己这样做了，因为陈先生了解这些工作更深远的含义。他知道怎样把这一结果推广到高维情形，并且帮助我理解它。我们一起把我的工作所真正蕴涵的内容全部汇集起来，写成了一篇论文（见下页图）。


陈省身与西蒙斯的论文首页


西蒙斯所提到与陈省身合作的论文，于1974年发表在Annals of Mathemmatics上[7]，其中提出了一种新的几何不变量，后被称为“陈-西蒙斯不变量”。它其实是流形上第二陈类的微分，因而是一个三阶微分形式，其特点是与流形上的度量（对应于物理世界中的“距离”和“长度”概念）无关。谁也没有想到，这个几何不变量竟会在 10 多年后成为数学家和物理学家共同的研究热点。而关于这一切的缘起不能不提及当时与西蒙斯同校的、著名华人物理学家、诺贝尔奖获得者杨振宁以及杨-米尔斯规范场理论[注释1]。


二


1967年，时任石溪分校物理研究所所长的杨振宁在给学生讲授杨-米尔斯规范场理论时突然发现，规范场的公式和黎曼几何中的公式极为相似，这令他十分惊奇。他想弄清其中的道理，于是开始学微分几何。但是，即使像杨振宁那样有很好数学素养的物理学家，要想搞懂微分几何中那一大堆抽象晦涩的符号和概念也绝非易事。杨振宁有一次在国际物理学家会议上开玩笑说：“现在只有两类数学著作。一类是你看完了第一页就不想看下去了；另一类是你看完了第一行就不想看下去了。”此话博得台下同行一片掌声。


直到 1975年，杨振宁邀请同校的数学系主任西蒙斯教授来物理所做关于微分几何的系列演讲。杨振宁在听讲中终于弄懂：物理学的规范场正是微分流形纤维丛上的联络！这使他产生触电般的感觉。他后来写道：“客观宇宙的奥秘与基于纯粹逻辑和追求优美而发展起来的数学概念竟然完全吻合，那真是令人感到悚然”[8，p711]。


那天晚上，杨振宁驱车来到陈省身家，告知说他已经学懂了漂亮的纤维丛理论和深奥的陈省身-韦伊定理。他说：“规范场正是纤维从上的联络这既使我震惊，也令我迷惑不解，因为你们数学家居然能凭空想象出这些概念。”陈省身当即反对说：“不，不！那些概念不是想象出来的。它们是自然而真实的。”[8，p711]    


陈省身与杨振宁是世家通好，经常来往，却在相当长的时间内，互相不了解对方的工作。这件事并不奇怪，因为数学和物理是两门有着本质区别的科学，而且均为高度专门化的学问，只有经过长期系统的学习和训练才能够很好地理解和掌握它们。


杨振宁随即与吴大峻（1933~，哈佛大学物理学教授）联名发表了题为“不可积相因子概念和规范场的整体公式”的论文（Physical Review，1975，No.12），文中有一张十几个物理学规范场论的术语和微分几何纤维丛的术语一一对应起来的表。这张表引起了英国著名数学家、菲尔兹奖章获得者阿蒂亚（Michael Atiyah，1929~2019）的注意。


他于是带领他的学生，尝试结合杨-米尔斯规范场来研究一些数学问题，竟然取得一系列出人意料的结果。特别是阿蒂亚的二年级研究生唐纳森（Simon Donaldson，1957~）利用杨-米尔斯方程证明了，4维欧几里得空间有不止一个微分结构！这“令整个数学界目瞪口呆”（stunned the mathematical world）。唐纳森因此于1986 年获得了菲尔兹奖章。


在国际数学界，很快形成了杨-米尔斯方程的研究热，并且持久不衰。反过来物理学家也开始运用现代微分几何的方法来研究物理问题，同样获得令人惊奇的结果。


1989 年，普林斯顿大学的物理教授威滕（Edward Witten，1951~）发表了题为“量子场论与琼斯多项式”的重要论文。该文把唐纳森处理4维空间杨-米尔斯规范场的方法推广到3维量子场。在这种情况下，威滕创造性地把陈-西蒙斯不变量作用于杨-米尔斯方程，竟然获得了方程的解！而且威滕发现这些解与“琼斯纽结不变量多项式”有密切联系。


“琼斯纽结不变量多项式”是新西兰数学家琼斯（Vaugham Frederick Randal Jones，1952~2020）在研究算子代数理论中的冯·诺伊曼代数的指标定理时发现的。就这样，威顿通过陈-西蒙斯不变量把这些看似不相干的不同数学领域和不同物理学领域中的理论和概念，全都联系在一起！


陈-西蒙斯理论于是成为窥探宇宙奥秘的又一强有力的数学工具。我们知道从数学上来看，牛顿力学和爱因斯坦相对论体系都是一些与空间度量有关的二阶微分方程，这些方程无法用来统一刻画宇宙的四种基本作用力。而陈-西蒙斯不变量与度量无关，因此很可能在一个关于宇宙的统一理论（比如说，弦论）中发挥关键作用。事实上，威滕的主要研究领域就是弦论。另外，陈-西蒙斯理论还能用于描述分数量子霍尔效应和超导现象[9]。


西蒙斯和陈省身当然都没有料到，他们所创造的纯几何理论在10多年后会在物理世界中找到重要的应用。


1976年，西蒙斯因在示性形式和极小簇领域获重要研究成果，而与瑟斯顿（W. P. Thurston）分享了美国数学会五年一度颁发的维布伦几何奖。这是几何学家的极高荣誉，他的数学事业看来正如日中天。


三


然而就在此时，西蒙斯却打算要离开数学了。因为一方面，他正在做的新数学研究一直没有进展，这令他感到十分沮丧；另一方面，他已无法抑制内心想赚钱发财的强烈欲望。于是在1976年，他辞去数学系主任的职务，开始花一半时间做研究，另一半时间做生意。两年以后，他终于离开石溪分校，全身心地“下海”经商去了。与他一同离校共赴商海的，是曾经获得过美国数学会柯尔奖的数论专家阿克斯（James Burton Ax，1937~2006）。


在此之前，西蒙斯已找过他在IDA的老同事，密码分析专家鲍姆（Leonard Baum）。鲍姆曾经与人合作，开发了一种用极大似然估计来确定隐马尔可夫（hidden Markov）随机过程中未知参数的算法，该算法可用于语音识别、生物学统计等多个领域。西蒙斯请鲍姆做了一个把该算法用于货币交易的数学模型。鲍姆完成了模型，却没有兴趣来用它，因为他有更熟悉的发财之路。


西蒙斯于是让阿克斯看了鲍姆的模型，阿克斯认为该模型不仅可用于货币交易，还能用于任何一种商品的期货交易。两人于是共同创办了 Axcom 贸易咨询公司，由阿克斯负责改进鲍姆的模型并把它用于金融商品交易。模型虽然简单，却很管用。1982年，西蒙斯又成立了“复兴技术公司”（Renaissance Technologies）[10]。


到了1988 年，西蒙斯与阿克斯联手创建了名为“大奖章”（Medallion）的对冲基金（hedge fund），取此名称是因为它的两位创始人都曾获得过美国数学会的大奖。然而在第一年度，因为几次交易失败而使基金亏损了30%。两位合伙人对于是否还要继续使用原来的数学模型产生了严重分歧。争执的结果，阿克斯离去西蒙斯开始独揽大权：“大奖章”基金归于“复兴技术公司”名下，Axcom则被兼并。


西蒙斯继续聘用数学家进一步修改模型。在第二年度，运用新数学模型进行金融交易的“大奖章”基金获得了55.5%的净利润！自此以后，该基金再也没有亏损过，并且一直保持着年均35%净利润的效益。


作为对比，曾因搞垮墨西哥和英国银行、掀起东南亚金融风暴而名声昭著的对冲基金“大鳄”索罗斯（George Soros，1930~），其管理的“量子基金”的年回报率尚不到“大奖章”基金的一半。


从 2007年开始，美国遭遇半个多世纪以来最严重的金融危机，各种金融机构和基金组织几乎都损失惨重，甚至大批倒闭。唯独“大奖章”基金依旧表现惊艳2007年和2008年的净利润分别高达73.7%和80% [12]！如今它已无可争议地成为世界上历史最长、规模最大和最成功的对冲基金。


基金管理者的酬金是收取管理费和利润分成。西蒙斯在 2005年获取的酬金是 15亿美元，2006年17亿美元，2007年和2008年分别达到28亿美元和25亿美元，堪称是全世界年薪最高的打工者。在2009年的福布斯富豪排行榜上，西蒙斯位列美国第29位，世界第55位[6]。


四


人们不禁要问，西蒙斯和他的“大奖章”基金取得巨大成功的秘诀何在？答案是：他们摒弃了传统金融家的对影响金融市场的各种基本面（如经济和政治形势，以及政府决策等）作深入分析的方法，而代之以极有效的具有模式识别功能的数学统计模型——当然，模型本身是高度保密的。


所以，西蒙斯和他的“复兴技术”公司几乎不招募经济学或金融专业的毕业生。其所属 200多名员工大多是数学家，天体物理学家、生物统计学家和语言专家等，其中三分之一以上的人拥有博士学位。正如曾任“大奖章”基金主管的加州大学伯克利分校数学教授伯莱坎普（Elwyn Ralph Berlekamp，1940~2019）所说：“复兴技术”公司是由科学家管理和运作的，其最大秘诀就在于它不雇用 MBA 人[6]。


西蒙斯本人这样说道[3]：


有趣的是，我在越战期间从事密码破译的工作（对我）极有帮助。作为密码破译者，你看到对手的大量数据；你有了想法，然后检验这些想法；大多数想法是错的；如果运气好，你猜中一些，然后开始得到正确的结果。这与预测金融数据相似：你有了想法，则当某件事发生后你会期待出现某种模式；你可以检验它们；你或许对或许错；这是使用数学方法的实验科学，但不是数学。


主要工作是建立金融市场的模型，希望通过适当组织数据以帮助预测未来……我研究大量的金融数据，试图从中形成数学图景；这个工作可以做得很漂亮，但它完全不同于定理证明。


如前所述，“大奖章”基金所使用的数学模型来源于IDA 科研人员对于语音识别技术的研究，鲍姆等人是最早的开发者。用数理统计学的语言来说，该模型的功能在于识别隐马尔可夫随机过程中的模式参数。此类模型除了用于语音识别外还可用于预测太阳黑子运动、机器翻译、辨认 DNA 序列等[11]。了解到这些，就不难理解西蒙斯为什么要聘用天体物理学家、语言学家和生物统计专家了。


“复兴技术公司”成功的另一大秘诀是宽松和谐的企业文化。新雇员被允许甚至鼓励查看公司以往所有交易的详细记录；只要西蒙斯的办公室门开着，任何人可以随意进去讨论问题；从主管到清洁工都拥有公司的股份，因而可分得红利；加人公司的雇员很少再跳槽离开；公司每半个月举行一次学术报告会，员工们通过听报告获得启发;西蒙斯还经常与员工及家属们共享周末，甚至一起外出旅游。


西蒙斯为人低调，而且很少与金融界的人交往，所以在相当长时间内并不为外界所知。他经常引用小说《动物农庄》中本杰明驴的话：“上帝给了我尾巴来赶走苍蝇，而我宁愿没有尾巴也没有苍蝇。”[5]    

直到最近两年，他所领导的对冲基金因业绩太惊人而被各种媒体频频报道，使得西蒙斯身不由己地成为公众人物。还有，人们在分析美国金融危机产生的原因时，纷纷指责对冲基金的买空卖空行为起着推波助澜的作用，应该对此次危机承担相当的责任。为此，西蒙斯和他的公司不得不和其他的对冲基金组织一样，出面解释和辩解。2008年11月13日，西蒙斯和索罗斯等美国五大对冲基金的负责人还出席了美国国会关于“对冲基金在当前金融危机中的作用”的听证会（见下图）。这一切活动都增加了西蒙斯的公众知名度。


出席美国国会听证会的五大对冲基金负责人。左起：索罗斯、西蒙斯、鲍尔森、法尔科内、格里芬。


顺便一提，西蒙斯也并非无往不利。其“复兴技术公司”所属的另一只产品——“复兴机构股票基金”（Renaissance Institutional Equities Fund）显然受到了金融危机的影响：其资产在2008年8月约为150亿美元，而在一年前它有280亿美元。


五


在积累大量财富的同时，西蒙斯并没有忘记回报社会。在这方面，他是一位慷慨的、充满爱心的慈善家。


他尤其重视资助科学（特别是数学）研究和教育事业。2004年，西蒙斯创建了“数学为美国”（Mathematics for American）基金，旨在吸引、训练和留住高素质的中学数学教师，以改进美国公立学校的数学教育。2006年初，他和他的公司下属捐赠 1300万美元，以弥补美国布鲁克海文国家实验室的“相对论重离子碰撞机”项目的经费短缺。同年，西蒙斯捐赠了 2500万美元给他曾经工作过的纽约州立大学石溪分校，以资助那里数学系和物理系的研究工作；2007年，他又捐赠了6000万美元，用以在石溪分校建立“西蒙斯几何与物理中心”，这是纽约公立大学所收到的历史上最大一笔捐赠。此外，西蒙斯还给耶鲁大学、洛克菲勒大学、麻省理工学院、加州大学伯克利分校、普林斯顿高等研究院和美国数学科学研究所（MSRI）等美国高校和科研机构捐过款。


西蒙斯结过两次婚，共有5个子女。然而，作为父亲，他遭受了比常人更多的不幸。1996年，他的34岁的儿子保罗因车祸丧生；为了纪念保罗，西蒙斯建立了“保罗·西蒙斯基金”，以资助与教育和卫生有关的各种项目。2003年，他在尼泊尔工作的23岁的儿子尼克，在印度尼西亚巴厘岛旅游时溺水身亡；西蒙斯为此建立了“尼克·西蒙斯基金”，以资助尼泊尔的卫生事业。


西蒙斯的女儿奥德丽患有轻度自闭症，西蒙斯夫妇于是花 3800 万美元建立了一个专门研究自闭症病因的慈善基金。西蒙斯还打算另外花1亿美元以资助深人研究自闭症，包括研究基因对自闭症的影响。


六          


1990 年夏天，丘成桐和郑绍远举行庆祝陈省身 80寿辰学术会议。西蒙斯为会议提供了经费，并到会发表了内心感言[4]：


我是唯一自己花钱来到这个讲台的。在座各位都是免费参加活动，我为自己买了一个座位。我很高兴能在这里再次和陈省身以及各位数学家在一起………我在70年代中期离开了数学界，不再是数学家了，在那时很少人这样做。有人说这种做法很不高明，我一定会闯祸。后来朋友告诉我，陈省身对这件事的评语是：“噢，反正西蒙斯不是希尔伯特。”……我觉得这表明一种亲切的感情和富有哲理的精神。我将永远感谢陈省身对我这一生全部有益的影响。


2001年10月，应老朋友杨振宁的盛情邀请，西蒙斯偕夫人乘专机首次来到中国，访问清华大学。他在清华大学经济管理学院为师生们做学术报告[13]，其中介绍了他从数学家到华尔街的个人经历：他运用统计方法建立风险投资的数学预测模型，并不断地完善和提高，现在他的数学预测模型在他的决策经营中发挥着决定性的作用；西蒙斯认为，他的成功幸运占了一定的成分，但如何利用自己的常识判断来抓住这些机会，是非常关键的。而更重要的是，数学使他走上了成功之路。


访问中，西蒙斯决定为清华大学捐资建造专家公寓，杨振宁为该公寓取名为“陈-西蒙斯楼”（Chern-Simons Hall）。2005年10月28日，西蒙斯夫妇又专程从美国赶来，为公寓的落成剪彩（下图）。



2003年春天，西蒙斯曾从美国乘专机飞往天津看望陈省身。他们在南开大学陈先生的寓所宁园愉快会面，陈省身建议他顺便去西安参观，放松一下。西蒙斯回答说实在没有时间。会面之后，他立即飞回了美国。


七 


2008年，已年届70的西蒙斯再次做出不同寻常的人生选择：他又返回了数学界。他与身兼纽约市立大学爱因斯坦讲座教授和纽约州立大学石溪分校教授的著名拓扑学家沙利文（Dennis Sullivan，1940~）合作，发表了题名为Axiomatic characterization of ordinary differential cohomology（Journal ofTopology， 2008（1）：45~56）的研究论文；从文章的内容来看，这是他在离开数学界之前所做的那些研究工作的延续和扩展。


是什么，促使西蒙斯在当了“逃兵”30 年之后，又要重归数学家的队伍？当然是他内心深处对于数学和数学研究的炽热之爱。这种在他儿童时培育起来的深厚情感，虽因人的另一种强烈欲望——对财富的渴望——而被暂时压抑，但终究还要再次表现出来，尤其是在他的财富欲望得到充分满足之后。西蒙斯说[3]：


最近我又重新回来做一些纯数学的研究。当你在研究一个数学问题时，你会非常深入地思考它：躲开其他事物，集中考虑你的问题；你会在一些很奇特的场合得到灵感；这种难忘的经历经常发生在你置身于其他事务的时候，比如说在参加某个午宴或在看某场电影时。思考数学问题让你心无旁骛并忘却烦恼。这种感觉真好，真令人快乐。


2008年4月28日，美国历史最悠久、最著名的荣誉学术团体“美国艺术与科学学院”（American Academy of Arts and Sciences）宣布了新当选的 212 位院士，数学家和慈善家西蒙斯荣列其中[14]。同年10月11日，AAAS 举行了任命仪式，西蒙斯代表新当选的院士，在大会上作了关于什么是数学的普及知识发言，发言的结尾是这样的[10]：


最后，你们可能会问：究竟是什么驱使一些人去做数学，他们是如此地投入以致常常会得罪别人，他们错过了那么多的大众活动而去追求那些如此抽象、只有少数人才懂的知识？我能给你们的唯一答案就是两个词：数学是美丽的而且是真实的。


参考文献：

[1]张奠宙, 王善平, 倪明.回归故乡,寄望南开——陈省身访谈录. 科学, 2000, 52(4): 34.

[2]张奠宙, 王善平. 陈省身传. 天津: 南开大学出版社, 2004.

[3]Simons J  .Autobiography. In Mariana Cook. Mathematicians: An Outer View of the Inner World. Princeton University Press, 2009, 46.

[4]西蒙斯 J. 我和陈省身的交往. 见: 丘成桐编. 陈省身——20 世纪的几何大师.台北: 交通大学出版社，2000，89-91.

[5]Wikipedia. James Harris Simons.

http://en.wikipedia.org/wiki/James.Harris_Simons.

[6]Teitelbaum, Richard (2008-10-27). Simons at Renaissance Cracks Code, Doubling Assets. Bloomberg. http://www.bloomberg.com.

[7]Chern SS, Simons J. Characteristic forms and geometric invariants. Annals of Mathematics, 1974, 99(1): 48-69.

[8]杨振宁著, 张奠宙编. 杨振宁文集(上、下). 上海: 华东师范大学出版社, 1998.

[9]Wikipedia. Chern-Simons Theory.

http://en.wikipedia.org/wiki/Chern-Simons_theory.

[10]Wikipedia. Renaissance Technologies.

http://en.wikipedia.org/wiki/Renaissance_Technologies

[11]Wikipedia. Hidden Markov Model.

http://en.wikipedia.org/wiki/Hidden_Markov_model.

[12]Preet Banerjee. A Hedge Fund That Returned 80% in 2008. 2009-08-31.

http://www.wheredoesallmymoneygo.com/a-hedge-fund-that-returned-80-in-2008/

[13]清华大学国际合作与交流处. 外事快讯, 2001 年第 10 期.

[14]Bulletin of the American Academy of Arts and Science. Winter 2009.

http://www.amacad.org/publications/bulletin.aspx.


注释：

1. 指杨振宁与米尔斯（Robert L. Mills，1927~1999）在1954年合作创立的“非交换规范场”物理理论。 


《陈省身与几何学的发展》

编者：丘成桐、杨乐、季理真

出版社：高等教育出版社

出版时间：2011年1月


本文来自微信公众号：返朴 （ID：fanpu2019），文章摘自《陈省身与几何学的发展》，作者：王善平、季理真