本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：曹则贤，题图来自：视觉中国
一、引子
笑话年年有，今年更独特。近些日子，有中国台湾某退休将领，做电视节目嘉宾时言道：“一发导弹拦截的成功率是70%，那我三发一起拦截，成功率就是210% 嘛，哪有拦不住的！” 有点儿常识的人瞬间捕捉到这是个大笑话，吓得赶忙捧腹扶眼镜。
这笑话在华人圈一时间热度飙到42℃。有人直言这位退将的数学是体育老师教的，结果因为侮辱了体育老师被体育老师给打了。有女嘉宾怒怼，“一发导弹拦截成功率70%，三发拦截成功率就是210%，照这么说四杯25℃的水，倒在一起直接就沸腾喽！”还有人从排列组合的角度，分别给出三发导弹中与不中八种不同组合的概率。这画风转换有点儿快，一个笑话竟然还引出一堂数学课来了。
既然有人关切，笔者也来凑个热闹，假装很不严肃地好好讨论一下这个问题：“设一发反导导弹对来袭导弹的拦截成功率为70%，那么，三发一起拦截的成功率是多少？”
二、概率的数学初步
首先，alas，这个问题是错的！对着来袭导弹发射一发反导导弹，结果就两种：击中或者没击中。用数值表示，就是1或者0，没有成功率70%的说法。
所谓的成功率为70%这种说法，是一种统计语言的描述，而统计是针对大数而言的。设用某型号导弹拦截某确定型号的来袭导弹，在相同条件下实验了N次，其中成功了M次，则若N 足够大，数值
注意右面各行的系数。再硬性(!)引入(p+q)0=1 (这说明为什么自然数要从0开始)， 就构成了大家熟悉的杨辉三角 (图1) 。
设想 p 是某件事发生 (成功) 的概率，q 是某件事未发生 (不成功) 的概率，p+q=1。现在神奇的事情发生了。不管 n 是几，(p+q)n=1都成立。这就是说，杨辉三角的每一行恰恰就是这类事件被重复考察n次时，相应的各种可能对应的概率。比如，对某事件实验三次，则表达式 (p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3 的右侧分别就是发生3，2，1，0次的概率；若对某事件实验四次，则表达式 (p+q)4=p4+4p3q+6p2q2+4pq3+q4 的右侧分别就是发生4，3，2，1，0次的概率。是不是很简单？
于是，关于“一发导弹拦截成功率为70%，三发导弹拦截的成功率是多少” 这事儿，有人会计算如下。参照表达式 (p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3 ，则三发皆中的概率为70%×70%×70%=34.3%，两发中一发未中的概率为3×70%×70%×30%=18.9%；一发中两发未中的概率为3×70%×30%×30%=44.1%。 三者相加，故拦截成功的概率为97.3%。或者， 拦截不成功的概率为 30%×30%×30%=2.7% ，则拦截成功的概率为100% -2.7%=97.3% 。简单吧？
三、导弹拦截拦截是个物理问题和经济问题
问题要是那么简单就好喽。
学过概率论的人都知道，概率论是一门坑很多的学科，要不天下有开赌场致富的非法路径呢。概率论不是简单的拿个算式去算个数，要考虑问题的物理图像，物理图像，物理图像！
先说说中学物理里的常见的接灯泡问题（伪物理问题）。设有一种灯泡，接上电会亮的概率为 p=70% （按说就不该出厂），问三个灯泡串联和并联的情形下（图2），教室有亮光的概率各是多少？如果是串联，有一个不亮就把整个电路断了，所以教室被照明的概率是表达式 (p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3 右侧的第一项，为34.3%；如果是并联，但凡有一个灯泡是亮的就行，所以教室被照明的概率是表达式 (p+q)3=p3+3p2q+3pq2+q3 前三项之和，也就是 1-q3 ，为97.3%。
三个灯泡并联的问题， 与使用大炮轰击一个目标的问题相同：三发炮弹齐发，但凡有一发轰击到目标，即算达到目标。目标被摧毁的概率可以按照前述算法计算。这里计算正确性的保证来自三发炮弹的独立性。然而，关于三发导弹拦截一发来袭导弹成功率的计算，看似与三个灯泡并联和三发炮弹齐发的问题相同，但实际上却有很大的差别。
设若敌方有一发导弹来袭，且来袭导弹在飞行途中，这时的反导大概就是所谓的中段反导。若时间还允许，拦截方式大概是发射一发，如果成功，事情到此为止；如果不成功，赶紧补发一发。为什么不三发齐发呢？因为反导导弹太珍贵了，糟蹋不起。再者，导弹都是在高速运行中的，三发齐发又不能做到同时击中来袭导弹，则若一发击中来袭导弹（这是我们的追求和目标），其它两发不是白浪费了。这又不是炮弹轰击敌阵地，一发击中，补中两发算是加强打击效果。当然了，实际测试反导导弹性能时，双发齐发倒是真有的。三发齐发不是原则上不可以，而是实在没那么豪气。
如果敌方来袭导弹已经接近目标，这就是末段反导了。这时候的拦截务必要做到万无一失，特别是为了保护高价值目标，为此可以不惜代价。这个阶段的拦截手段一般使用近防炮。近防炮要形成一道动态的弹幕，让一段时间内的来袭目标，哪怕是一发炮弹，都不能通过。为此，近防炮的关键指标是射速，一般在每分钟6000发以上。我国新型船舰上使用的1130近防炮，射速超过每分钟一万发以上，射击距离在3公里左右。一分钟一万多发，速射十分钟就是十多万发。十万发速射炮炮弹，你估计一下得多少钱？真打不起啊。
四、来自反导的开悟
在基础物理中，描述一个运动物体，要用到质量 m，速度 v（这是一个矢量），动量 p=mv (矢量)， 和动能 Ek=½mv2 。按说，有了质量 m 和速度 v 就够了，为啥还要用到动量和动能呢？关于这个问题，笔者当普物老师时没想明白，但是盯着导弹和反导的示意图（图3）时我想明白了。
首先，不管是导弹还是反导导弹，速度是硬道理。飞得够快，才能追得上对手或者免于被对手追上。这就是我们的导弹追求高速的道理。据公开信息，我国东风17的速度约为10马赫，东风41的速度可达25马赫，这速度是杠杠的。然而，导弹的高性能不光在于速度，还在于高机动性。导弹在突袭或者反导的时候要能灵活地变轨，这要根据牛顿第二定律，
，其中力F由推进剂提供，可见动量是相关的物理参数。注意，对于速度在10 马赫量级的导弹，其不仅没有战斗部，在进入大气层后它还会因为高速飞行被逐步烧蚀掉，所以导弹的质量很关键。发射时质量要足够大，等到达目标时我们希望其还能剩个1公斤左右。接近目标后，导弹的毁伤能力则由动能表征。大家不妨计算一下一个1公斤的导弹头 (就是一块金属钨)，速度为25马赫时，动能是多少？这样大家对它的威力就心里有数啦！
五、多余的话
那位退将侯的概率论水平，有点可笑，但并不可怕。笔者遇到稍微深一层面的概率问题，比如条件概率，就大概率会立马出错。真正可怕的是，“退将侯”这种水平的人是怎么当上将军的，是怎么能上电视节目给别人分析问题的？21世纪，国家发展问题首先是个科学问题，军事问题也首先是个科学问题，对此，我们要端正态度。
参考文献：曹则贤，军事物理学， 上海科技教育出版社 (2022).
本文来自微信公众号：返朴（ID：fanpu2019），作者：曹则贤