上一篇《大推力火箭发动机难在哪儿？》开启了发动机性能四连载，即推力、比冲、混合比、流量，本篇为四连载之二——比冲。内容包括：
比冲作为发动机指标的意义
提高比冲的三种方式
一个新的密度比冲公式
比冲作为发动机指标的意义
火箭发动机“性能指标”这个术语，包括许多参数，如推力、比冲、工作时间、混合比、重量、外廓尺寸、可靠性、成本等，一般认为比冲是最重要的性能指标。比冲也称为比推力，计量单位是秒，指发动机产生的推力（kg）与单位时间内消耗推进剂流量（kg/s）的比值。俗语说的“又想马儿跑，又想马儿不吃草”，正是体现了对高性能、高比冲的追求。
火箭之所以巨大，是因为它自己要将自己（大部分是燃料）推上天空。不考虑空气阻力和重力作用的损耗，如果发动机比冲提高1倍，意味着用同样的燃料，可以产生2倍的推力。因此在同样的时刻，火箭的加速度始终是之前的1倍，最终火箭的末速度也将是之前的2倍。这也正是齐奥尔科夫斯基公式的含义。
文献研究表明，对于典型的中程弹道导弹，比冲增加不到0.5%，可使射程增加1%；对于火星任务，比冲增加5～6%，会使有效运载能力提高20～30%。
为了提高航天运载的效率，人们在提高液体化学火箭发动机（不包括新概念发动机，如大推力核火箭发动机）比冲方面作了很多努力。
提高比冲的三种方式
发动机的大部分燃料供给到推力室，推力室基本构成了发动机的主要推力部分。推力室比冲可写成两个参数的乘积，即(Isp)tc=c*Cf，其中c*称为特征速度，主要用来评定推进剂燃烧性能的参数，反映出推进剂的有用能量级以及喷注器和燃烧室的设计质量；Cf称为推力系数，反映出燃气的膨胀特性和喷管的设计质量。另外在泵压式发动机中，发动机需要少量燃料来驱动涡轮泵，不同的循环方式将造成不同量级的损失，从而降低发动机比冲。
因此，除对发动机喷注器、燃烧室良好设计外，大幅度提高发动机比冲有如下三种方法：更强的推进剂、更好的循环方式、更大的喷管面积比。但上述任何路线均非易事。
更强的推进剂
引用：
1) J.Q. Weber，液体火箭推进剂发展远景，国外导弹技术；
2) 技术狂想症与新时代火箭发动机的选择。
液体火箭发动机的特点，是不靠外部能源而利用飞行器上推进剂诸组元的化学能建立推力。推进剂诸组元之间经过反应的物质（即燃烧产物）构成高速喷射物质。不考虑发动机的实现效率，发动机比冲取决于单位质量推进剂所含的化学能。
燃烧室压力Pk=6.9MPa；喷管膨胀比ε=600；平衡流；S化学计算关系式；虚线对应含金属推进剂。
图/推进剂比冲与密度的关系
上图表明，氟基推进剂能够保证高比冲值，但氟的腐蚀性和毒性很强；O2/Be/H2三组元推进剂是理论比冲最高的化学推进剂（O3除外，由于其对撞击的敏感性很高而不宜使用）。然而，使用这种推进剂组元的发动机由于更大的两相流损失难以保证Be的充分燃烧，实际上未必能产生像使用F2/Li/H2推进剂那样的高比冲。另外，想均匀地向燃烧室加Be也是不容易的事。
目前比冲最高的实用型推进剂组合是液氢/液氧，其实人类试验过的更强的推进剂还有很多：更强的燃料有金属铍、非金属硼，硼氢化物等，更强的氧化剂有氟气、氟氧化物、氯氧化物等等。但它们都是集剧毒、强腐蚀、不稳定于一身，难以实际应用，除非愿意将发射场做成一次性的。
不过，世界上还真有氢/氟发动机，譬如苏联的RD-301，用于上面级（谁敢用在第一级？）实际比冲只有381秒，完全没有发挥氟的巨大威力，还不如氢氧。美国的RL-10也做过多次氢/氟循环的试验，结论是只消极少改动，就可以改烧氢/氟推进剂。但这些方案最终都没有付诸实施。
更好的循环方式
引用：
1) C.H. Dederra， 高压火箭发动机技术，国外导弹技术；
2) 荣欣编，液体火箭发动机的设计改进，国外导弹技术；
3) 技术狂想症与新时代火箭发动机的选择。
在提高发动机性能研究中，发现只有提高，而且要大幅度提高燃烧室压力，才是最有效的措施。但是燃烧室压力提高，输送推进剂的泵功率要更高，涡轮耗功越大。
早期的发动机采用燃气发生器循环，即从泵后引出一股推进剂，燃烧后吹动涡轮，之后经涡轮废气管或引入喷管排出。吹动涡轮的气体一般是富燃的（某些发动机是富氧），这样气体温度就不会太高（一般为90～1350K），以允许使用不冷却的涡轮叶片和喷嘴出口段，此部分燃料燃烧效率不高，给发动机带来了大约1%～5%的性能损失。
大家认为苏联功勋火箭工程师阿列克谢·伊萨耶夫（Alexey Isaev）于1949年首次提出了分级循环发动机的基本概念，但格鲁什科自称在1948年就已公布自己的想法：必须将涡轮废气再利用，送入燃烧室内，引入配对成分，再次燃烧，是谓“补燃”（也许是真的，也许是世人躲不过的名利吧）。他领导的前苏联气体动力实验室-设计局（现动力机械科研生产联合体）于1961～1965年研制了常规推进剂的补燃循环发动机RD-253，于1976～1987年研制了液氧煤油补燃循环发动机RD-120。
膨胀循环与前两者不同，在涡轮上游没有燃烧，驱动涡轮的燃气是在推力室冷却套中加热的燃料。这限制了涡轮进口温度，因此适用于以液氢为燃料的中小型发动机，但难以用于大推力发动机，如经典的半人马座的RL-10以及用于阿里安5 ESC-B二级的芬奇发动机，推力量级均不超过20吨。
膨胀循环中，引出驱动涡轮的推进剂可再次进入推力室燃烧，也可以直接排出，如日本H-2B使用的LE-5B发动机，由于涡轮驱动工质进入了低压区而非高压的燃烧室，因此涡轮泵功率显著降低（减少约50%），在涡轮泵功率不变的情况下，可大幅提高燃烧室压力，由此带来的发动机比冲增加还可以抵消少量氢损失引起的发动机比冲损失。
一般而言，燃气发生器发动机结构简单，重量轻，易于研制。补燃发动机的投入要大得多，需要更好的材料、更多的测试、更多的时间和金钱。“边际效应递减”是事物的客观规律。越是接近指标极限，前进就越是困难，花费就越大。随着人类在航天领域越走越远，也越走越成熟。
欧洲在论证阿里安火箭发动机时，研制和生产两者的费用敏感度分析表明，除非高压发动机比低压发动机的费用增加不超过10%～13%，才能具有商业优势。而HM60如采用补燃循环，研制费用要增加大约33%，生产费用近似增加20%，最终选择了燃气循环方案。
日本研制H-2A时，由于采用了补燃循环方式，尽管从LE-7改进而来，LE-7A发动机在研制过程中遇到了比预计更多的技术问题，使整个H-2A火箭研制周期也延长了近2年。Delta4H使用的RS-68发动机由航天飞机主发动机SSME改进而来，但由分级燃烧方案改为燃气发生器循环，采用中等燃烧室压力，发动机设计简单，部件数量减少，实现了高可靠性和低成本的目标。
类似的例子还有Merlin发动机，在短短几年时间内，发动机推力从1A的340kN到1C的550kN，再到1D的723kN，翻了一番，恐怕也与其采用简单的燃气发生器循环不无关系。
更大的面积比
图/真空推力系数随喷管面积比和燃气比热比的变化曲线
上图给出了真空推力系数随喷管面积比和燃气比热比的变化关系。推力系数CT一般是介于1～2之间的数值（k=1.2，CT最大值为2.246，k=1.3，CT最大值为1.964）。
更大的喷管可使发动机比冲增大。如果喷管面积比达到3000，原比冲300s能提高到340s，可使普通氢氧发动机达到500秒的比冲。
但是，发动机比冲不可能无限制增大。这是因为发动机依赖燃气在扩张喷管内加速来达到比冲增加，随着燃气加速降压，温度降低存在绝对零度的极限，而且在降到绝对零度前，燃气已经冻结为固体，不可能再进一步膨胀，因此，即使在真空状态，无论喷管面积比多大，也无法达到最大理论比冲。
另外，如此之大的喷管，火箭根本就塞不进去。现在的火箭和导弹为了增大喷管面积比，采用可伸缩的喷管技术。
图/RL10B-2发动机及其延伸喷管
德尔它4H二级RL10B-2液氧/液氢发动机使用了碳/碳复合材料可延伸段，固定喷管长570mm，延伸段长达2082mm，可将发动机膨胀比由77提高到250，发动机的比冲增至462s，提高了十几秒。
一个新的综合密度比冲公式
有个很有趣的事情，进行固体发动机、氢氧发动机和液氧煤油发动机比较时，三方总是各执一词：氢氧发动机说我的比冲最大，性能最好；固体发动机说我的密度比冲最大，最终火箭性能最好；液氧煤油发动机说，我的密度大性能也高，综合性能最优，最适合做下面级发动机。从应用上看，三种发动机无论在下面级、上面级均有大量使用。那么谁是对的呢？
飞行器的本质是将有效载荷加速到所需的速度。不考虑引力及大气阻力影响，速度与比冲关系为齐奥尔科夫斯基公式v=Isp·ln(M0/M1)，式中v是速度增量，Isp是发动机比冲，M0是飞行器初始质量，M1是消耗推进剂后剩余质量。速度增量不只与发动机比冲有关，还与飞行前后质量比有关。
推进剂密度越低，火箭装载推进剂的结构质量越大，飞行后剩余的末质量越大，使得M0/M1的比值变小，从而影响最终的速度增量。因此速度增量内隐含了推进剂密度，单纯采用推进剂比冲作为火箭性能指标标志并不完全。
对于每款火箭，均可找到系数a、γ，将齐奥尔科夫斯基公式末速度写成v=Isp·aργ。此处将ρ定义为氧化剂和燃料综合密度，一般常规推进剂综合密度取为1200，液氧煤油取为1000，液氢液氧取为300，固体推进剂取为1600。对于系数a、γ可取如下组合：
（一）如果固定γ，则对于每款火箭，均存在 ：
a) 对于γ=0，v=Isp·a，即比冲公式；
b) 对于γ=1，v=ρIsp·a，即密度比冲公式。
（二）如果固定a=1，则对于每款火箭，均存在γ=lnε/lnρ(令ε=aργ），此时v=Isp•ργ，此公式既考虑了发动机比冲，又考虑了推进剂密度，可称之为综合密度比冲公式。
由于每发火箭对应的a和γ均不同，使得火箭性能评判存在困难。对国内外火箭进行统计，可求出比冲、密度比冲以及综合密度比冲公式系数的均值。
计算表明：对于比冲公式，a=2.43；对于密度比冲公式，a=3.49×10-3；对于综合密度比冲公式，γ=0.13。
由统计可知，2.43Isp和Isp·ρ0.13可以作为大多数火箭性能的良好近似，此两公式形式简单，用于计算火箭总体性能时精度相当。
图/典型火箭结构效率、速度增量及各性能表征公式误差图
上图分别给出了使用四种推进剂的结构效率，速度增量以及三种表征公式计算速度增量时的误差：
结构效率对火箭增量影响，以ln(M0/M1)为指标，平均设计水平下，常规≈液氧煤油>氢氧>固体。但如果固体助推或氢氧贮箱结构实现水平高，甚至可以接近液氧煤油水平（如宇宙神V助推固体达到2.4已接近液氧煤油平均值）；
考虑比冲和结构效率综合因素，在平均设计水平下，可以达到的速度增量为氢氧>液氧煤油>常规>固体。即使液体贮箱结构实现水平不高，能达到的速度增量均大于固体推进剂；
从统计数据看，密度比冲作为火箭性能指标，计算得到的末速度误差很大，因此使用密度比冲不太合理。合理性上，综合密度比冲≈比冲>密度比冲。
值得一提的是，为达到高的末速度，不考虑可实现性、经济性等因素，采用氢氧作为推进剂是最好的选择。但考虑火箭用于下面级时，速度增量可写成v=Ispln(M0+m)/(M1+m)，其中m为上面级结构质量。由于(M0+m)/(M1+m)<M0/M1，所以此系数降低了下面级发动机比冲的贡献。
也就是说，下面级比冲的增加，对总体性能（速度增量能达到的绝对值）的影响不如上面级。这也许是下面级大量采用简单的固体助推器和液氧煤油推进剂的原因之一。
作为上述公式的一个应用，氢氧发动机最佳混合比约为4，此时理论比冲约4112m/s，但在使用时为提高运载能力，会将混合比提高到6，此时理论比冲约4068m/s。即混合比提高后，比冲反而降低。
此现象无法单纯从比冲角度解释，但考虑综合密度比冲组合公式，混合比为4时推进剂综合密度为289kg/m3，混合比为6时综合密度373kg/m3，混合比提高后，尽管比冲降低，但火箭推进达到的速度增量却从8.6km/s 增至8.8km/s，从而达到全局优化。
本文来自微信公众号：理念世界的影子（ID：spaceodyssey1968），作者：洞穴之外