如图，怎么做到的？


图/SpaceX


现在我们都知道，发动机靠的是Tom Muller，在TRW干了15年，TR-106发动机负责人，然后，被Musk挖走了。


控制靠谁呢？在领英上有这么一组简历：剑桥本科和硕士，麻省博士，随后在JPL干了4年火星着陆。然后，也被Musk挖走了。


他就是Lars Blackmore，SpaceX火箭着陆工程负责人，入轨火箭一级着陆第一人。看起来定语也不少哦，这是因为航天飞机轨道器和助推器都被回收过，而蓝色起源又抢了个亚轨道一级回收。只是这里定语虽然多，但却分量最重，因为很难且意义重大。


图/LinkedIn


Lars Blackmore曾撰文说：SpaceX使用CVXGEN生成定制的飞行代码，采用高速在线凸优化算法。


凸优化是啥？


问题模型和简化


忽略地球曲率，忽略大气阻力，假设发动机比冲恒定，第一步不考虑横向运动，只考虑垂向，可将问题描述为：



这里F为发动机推力，模型简化为：通过流量（ṁ）调节，实现位置为0时，速度为0。


这里流量怎么调节有无穷多可能性，正是《设计和仿真有什么区别？》中所说的无穷多个自由度。加载个遗传算法、粒子群算法包暴力寻优？不会有好结果。


做出一个解析解？从上式可以积分出速度，即我们都知道的齐奥尔科夫斯基定律。但已经没法再进一步写出位置公式来。那就进一步蜕化。


假设为常流量，问题转化为了流量为多少的问题，只有一个优化变量。但此时仍写不出位置解析公式，难以进行一般结论分析。


假设为常加速度呢？通过不断降低发动机推力，与箭体重量匹配，达到常加速度下降，此时公式可写为：



从双过零条件，即末位置和末速度均为0，可以解出着陆时间t=-2h/v0，过程中加速度为：



从上式可知，对于简化模型，给定初始位置和速度，存在恒加速度，可以实现双过零。比想象的好，因为之前还担心找不到解呢？


采用文献给出的Falcon返回参数(r0=[5582 2100 450]; v0=[-353 -190 -40]; m0=38963;)，此处只考虑x方向，从图中可以看到在可变推力下，位置和速度同时到达0。


从图中也可以看出，返回初始条件的给定比较讲究。如图，推力正好从800kN左右调节到650kN，而对应Merlin1D发动机推力调节范围为592~845kN。



简化模型在干扰下的适应性



上图这个公式中，如果只用初始点的位置和速度，是无法适应干扰的。观察此式发现，对于任何时刻，都可将此时刻作为起始时刻，都可以重新计算一个加速度，这时候，算法就具备了一定的干扰适应能力。


如发动机点火时推进剂剩余量多500kg，同时发动机推力比指令值少5%。计算表明，此偏差下仍能双过零，只是着陆过程中给出的指令已经不是常值加速度了。但总体而言，一维情形下的返回是件简单的事情。



三维情况


仍采用公式a=v0^2/2/x0，三个方向分别施加。采用文献参数(r0=[5582 2100 450]; v0=[-353 -190 -40]; m0=38963;)，可以看到在位置和速度同时到达0。图中的推力产生加速度在初始时刻不是常值，这是因为发动机推力存在最大值限幅。



从图中可以看出，Y/Z向速度比X向先到达0。这是靠合理的XYZ位置、速度起始值组合保证的，在算例组合下，t=2r0/v0=[31.6261   22.1053   22.5000]s。


这个组合要求非常高，这也意味着Falcon返回的气动减速段，栅格翼一定不仅仅在调姿态和减速，同时也在进行制导，为反推点火点寻找较好的位置和速度组合。



如果点火时条件存在偏差怎么办？以速度为例，假设反推点火时x向速度仍为-353m/s，若：


  • Y/Z向速度偏小，此时Y/Z方向需要调节时间增加，若超过X向时间，返回时必然大幅偏离返回点。如Y向速度为设计值的60%，计算表明落点偏离42m；


  • Y/Z向速度偏大，需要更大的调节推力，从而造成推力限幅，使得X向无法达到需要加速度。如Y/Z向速度为设计值的110%，计算表明火箭将以100m/s砸向地面。


Y向速度为设计值的60%，落点偏离42m


Y/Z向速度为设计值的110%，落地速度100m/s


凸优化


上述例子中，偏差大的原因是算法中对于X/Y/Z三向独立考虑，没有估计它们之间的联系。应该是有办法可以处理这种联系的，只是笔者对GNC实在不熟悉，就直接转向Lars Blackmore在文中所说的凸优化吧。


推荐文献：

[1]Behçet Açikmeşe， Lars Blackmore， etc， Enhancements on the Convex Programming Based Powered Descent Guidance Algorithm for Mars Landing， 2008

[2]Lars Blackmore， Behçet Açikmeşe， etc.， Minimum-Landing-Error Powered-Descent Guidance for Mars Landing Using Convex Optimization， 2010

[2]张志国等，火箭垂直回收着陆段在线制导凸优化方法， 2017


方法其实很简单和程式化，先将原始模型：



转化为如下凸模型：



进而离散：



对照上述离散模型，可以直接写出计算程序。


在设计工况下的返回情况见下图，与之前算法结果最大不同在于，推力大小不再连续变化，而是在最大、最小推力处切换，即bang-bang控制。



对于之前的Y/Z速度增加10%，或Y速度降低40%工况，采用凸优化算法仍然可以得到较好的结果，即算法对偏差适应能力更大。




另外，与之前比，采用凸优化后，Y/Z速度趋向零的过程好像稍慢，可能导致箭体落地前有点倾斜，笔者觉得再加一些凸约束即可，就不一一尝试了。


在真正飞行中，在每一个制导周期都需要优化一次，获得当前推进力和方向，随后按此值推进，并在下一个制导周期重新计算。凸优化算法的优点在于，可在确定时间内给出满足指定精度的优化解，从而具备在线求解可能性，如SpaceX使用CVXGEN生成的凸优化算法实现在线实时求解。


看来在前人现成理论和工具包面前，火箭返回看起来不难嘛。但别忘了，以上只是最简单情况下的示例。Blackmore曾说：地球大气密度是火星100倍，气动力成为最大的变量而不是干扰，在地球上返回是一个复杂的问题。


就像足球里的吊球，接球的人训练时也许可以做到，但在比赛的高对抗中，就未必那么容易了。好多时候，说简单、说难都没什么意义，只有干了才知道。


本文来自微信公众号：理念世界的影子（ID：spaceodyssey1968），作者：洞穴之外