布尔巴基部分成员 | 布尔巴基
尼古拉·布尔巴基是20世纪最神秘的“数学家”，“他”师从庞加莱和希尔伯特，一己之力编撰数十卷《数学原本》，却从未抛头露面，任凭江湖中飘荡的流言蜚语。
不以真面目示人的背后，是一众天才为了挽救衰败的法国数学界，沉心编撰浩瀚的文书，以记录当代的知识。听起来像是阿西莫夫笔下的《基地》，却是上世纪30年代开始的一段活着的历史。作为世界上最为知名的马甲之一，“布尔巴基”时至今日依然散发着神秘色彩。
于衰落中诞生
“布尔巴基教授”的背后，是1935年于巴黎成立的布尔巴基学派。数百年来，法国一直是数学家的摇篮。费马、笛卡尔、帕斯卡、拉普拉斯、伽罗瓦、泊松、傅里叶……17世纪以来，巴黎皇家科学院逐渐汇聚大量顶级学者。法兰西数学大放异彩，法国也成为了欧洲的学术中心。
可光辉最终也要走向暗淡。法国最后一名全能数学家，庞加莱，于1912年因病去世。在那之后，法国人所从事的研究方向越来越狭窄，主要集中于单复变函数。此时处于数学前沿的代数数论、李群李代数、微分几何、泛函分析等分支中，几乎看不到法国人的身影，法国的年轻一代更是难以接触到世界数学的前沿。相反他们的邻居德国人，当时俨然已经成为世界的数学中心。庞加莱之后，只有德国的戴维·希尔伯特一人能挑起数学家领袖的大梁。而第一次世界大战，让法国数学又雪上加霜。
20世纪初，国际形势风云变幻。在第一次世界大战中，学生们份份奔向战场，昔日的顶级学府巴黎高师门可罗雀。到1918年战争结束时，已有半数学生永远无法归来。这些本可以成为新一代数学家的年轻人，永远地消散在了历史的角落。布尔巴基学派的五名创始人，让·德尔萨特、安德烈·韦伊、亨利·嘉当（注意跟他爹埃利·嘉当区分）、让·迪厄多内（被称为布尔巴基的发言人，大多数对外发布都是他做的）、克劳德·谢瓦莱都是上世纪20年代入学巴黎高师的学生。而战争中失去的一代人，割裂了那个时代。年轻的法国数学人处在一个前不着村，后不着店的位置。
戴维·希尔伯特 | 维基百科
20世纪初，代数学的兴起带来了一股潮流，由埃米·诺特，阿廷等德国数学家发展起来的理论不断为其注入新的血液。1930年，范·德·瓦尔登发表了著名的《代数学》，当时布尔巴基创始人之一的迪厄多内正在写博士论文，后来他在《布尔巴基的事业》一文中谈道：
“我还记得范·德·瓦尔登这本书刚出版发卖的那天。那时我对代数无知到那种程度，以至于要是现在我就进不了大学。我急忙跑向这些书，看到这个在我面前打开的新世界我简直惊呆了。当时我那时已经从高等师范学校毕业，却不知道什么是理想（ideal，抽象代数中一种特殊的子环），而且才刚刚知道什么是群！这就会使你对一个年轻的法国数学家在1930 年知道些什么有一点概念。”
后来布尔巴基的成员们一致同意模仿范·德·瓦尔登的风格写书，主要也是受此影响。不过这是后话了。真正促使这几位当时的无名小辈开始他们永垂青史的工作的，其实是当时陈旧的教材。初出茅庐的他们都在法国各大高校担任教职，他们讲授分析学（微积分，级数等内容）时使用的是30多年前出版的一本书，叫做《分析原理》。这本书包含诸多应用，在教授抽象理论知识的同时，也与科学和工程学紧密联系，得到了广泛好评。但这本教材也存在诸多问题——它的观点非常陈旧，没有跟上数学的发展；一些内容的讲法也不尽如人意，不满的老师们往往需要为此重新拟写讲义。韦依和他的老同学们时常聚在一起商量，他们想出一个好主意：由他们几个人共同撰写一部分析学教材，并用于他们各自的授课。
布尔巴基将军 | 维基百科
布尔巴基这个姓，来源于普法战争时期法国将领。巴黎高师时期，曾有一名同学以此名号搞恶作剧，称某教授要来做讲座，要求新生必须参加，韦依自传中写道：
“戴着假胡子，发着怪音，他向学生们介绍自己后开始讲经典函数论，然后小小地上升到一个故弄玄虚的高度，最后以‘布尔巴基定理’结束。这个故事成了传奇，但更传奇的是一个学生声称他听懂了整个讲座。”
布尔巴基学派就是建立在这样的恶搞风格之下。除了姓，还需要一个名。一名成员波赛儿的老婆，伊芙兰（后来成为了韦依的老婆）起了“尼古拉”这个沙皇一般的名字。小团体的形象就这么定下来了。韦依煞有介事地为其撰写了一篇简历：
“尼古拉·布尔巴基，法国数学家，生于1886年，大学毕业后获得奖学金，先是去了巴黎，然后到了哥廷根大学，分别师从庞加莱和希尔伯特，1910年完成学位论文答辩。他的学术生涯丰富多彩，合作者无数，名誉扶摇直上。”
部分布尔巴基成员 | 布尔巴基
引领数学变革
以布尔巴基作为笔名，几位高师老同学的写作开始了。1934年，他们组织了第一次非正式会议；1935年则是第一次正式会议。那之后，布尔巴基学派就正式诞生了。他们聚在一起讨论，将写作任务分配下去，一段时间后又回来坐在一起逐句朗读，一直到每个人都满意为止，没有通过的稿子绝不会发表。这是一个极其漫长的过程，充斥着激烈的争论。比方说迪厄多内坚决要求将拓扑向量空间这一内容放在积分学之前，要是有人反对他就会冒火，以退出相要挟。古德曼的妻子听说了这件事，表示不相信，布尔巴基成员们便邀请她参加了一次会议。在会中，一名成员故意挑起这个问题，迪厄多内果然暴跳如雷。不过他们的争论总是会回归和平，想象这样奇特的景象：一屋子人争吵着都要动手了，过了一会又开始和和气气地喝茶。君子确实和而不同。
布尔巴基成员们在讨论 | 布尔巴基
为了写出精确且完整的教材，他们在写作过程中不会跳过任何步骤，也不会引用任何语焉不详的术语。1939年，布尔巴基的第一本书《集合论》（部分章节）出版了。他们把这个系列叫做《数学原本》，以致敬欧几里得的传世之作。
不过当时正值二战，民生凋敝，自然没有引发多少反响。随后，德国入侵法国，数学家们纷纷避难，学术活动也大多搁置下来。幸运的是，等到战争结束，布尔巴基们又安然无恙地聚集起来。50和60年代，他们陆续不断地写作新书。你熟悉的很多数学符号和术语，比如空集符号，单射满射和双射等，都是他们在写作中首次使用的。
布尔巴基的作品站在极为抽象的高度，在泛函分析，交换代数，微分几何这些前沿学科之间建立起联系。这种思想在哲学上称为结构主义。他们力图找到数学对象背后最为深刻的关系，并将其表现在作品中——他们也获得了极大的成功。
特别是他们撰写的关于李群李代数的著作，其结构之精巧，思想之深邃，简直可以称之完美。这部60年代开始陆续发表的巨著象征了布尔巴基影响力的顶点——韦依，嘉当等人尚未退休，此时又有格罗腾迪克，塞尔等人加入，布尔巴基俨然成为了数学的风向标，而巴黎又回归了世界的数学中心。迪厄多内就曾表示：“毫不夸张地说，布尔巴基拯救了行将就木的法国数学。”
布尔巴基们还不忘为“布尔巴基教授”补充设定。比如说嘉当写道：“据传说，17 世纪克里特岛的爱国者在两兄弟的领导下，与土耳其的侵略者作战。这两兄弟是埃曼纽尔及尼古拉·斯考迪里斯，他们的英勇气概使土耳其人印象深刻，以致土耳其人后来把他们称为‘沃尔巴基’，即 ‘军事首领’。尼古拉和埃曼纽尔十分自豪地取了这个荣耀的姓，于是用这个姓传给子孙后代……从布尔巴基家族的两个分支的结合诞生出数学家尼古拉·布尔巴基，于是故事在继续。尼古拉·布尔巴基现在是玻尔塔瓦皇家学院的院士。”
走向衰落
越传越玄的故事自然受到了质疑，以致于《数学评论》的编辑波阿斯把这一质疑发表在《大英百科全书》上。不过，随后他们就收到一封来自尼古拉·布尔巴基签名的措辞尖锐的信，其中义正言辞地表示他“无意允许任何人对他的存在的权利提出质疑”，随后“尼古拉”开始散布流言，称数学家波阿斯其实并不存在，而只是《数学评论》的编辑的集体笔名。
不过幽默的风格并不影响治学的严谨。说到布尔巴基，自然要谈到他们倡导的公理方法。简单来说，公理方法就是一种抽象——把一个苹果加一个苹果等于两个苹果，抽象为1+1=2，这样如果再遇到一个梨加一个梨的问题，就不用再算了。数学中有很多类似的结构，即使直观看起来大相径庭的两样东西，其背后都可能藏着联系。只需要将其背后更加抽象的规律找出来，就能一次性解决很多问题。
但这并不适合所有水平的人：人对于数学的认识，从来都是从具体的例子到抽象的概念。布尔巴基对于他们的作品的定位，只限于一定水平的研究生和数学研究人员。在这些作品中，你找不到来龙去脉，只有从头到尾的论证。初学者就算能看懂每一步，也会搞不清楚为什么会这样定义，也会想不通为什么要研究这样的问题。而经验丰富的数学研究者却能在其中找到美妙的框架结构，体会到其中的思想。
可是很多人并不能抓住布尔巴基思想的精髓，却想在别处实践布尔巴基的“精神”。法国在70年代展开的“新数学”运动，就是这种“嫁接”的后果。一时间，中小学份份开始学习集合论，号称要将欧几里得赶出教师。老师和学生苦不堪言。整整一代人受到了这样揠苗助长的摧残。
自然，矛盾的焦点指向了布尔巴基学派。社会各界充斥着对公理思想的谩骂，批评他们“为了推广而推广”。迪厄多内此时只能无力地发表了《布尔巴基的数学哲学》，为公理的形式主义正名，同时大加批判了数学上的“极左”（逻辑主义）和“极右”（直觉主义）。
可惜的是，这些辩驳早已无法改变布尔巴基逐渐衰落的事实。他们起初为了让学派保持活力，规定成员到50岁必须退休。而等到新鲜的血液充满了整个小团体，布尔巴基也如同特修斯之船一样不复从前。一个数学学派最重要的是思想，但发表的仅仅是一板一眼的文字。这很容易让外界误以为布尔巴集的抽象是毫无意义的。自70年代以后，著作发行越来越少，出版社也几经更替。
可以说，布尔巴基的全盛期，是数学的“大一统”时代。抽象观念逐渐将分支统一起来，各学科的交流达到了前所未有的高度。但到了20世纪的尾声，数学已不再是统一思维的天下了。随着代数曲线、偏微分方程、数学物理、低维拓扑等学科的发展，数学家们的兴趣转向了一个个具体的问题。像偏微分方程，虽然背后是高度抽象的泛函分析，但具体到每一个方程，研究的方法也大相径庭。布尔巴基的方法到这里已经行不通了。在布尔巴基日渐老去的身影之上，新一代的数学家解决了莫德尔猜想、费马大定理、庞加莱猜想等难题，继续使用代数，拓扑，分析的现代方法，将前沿拓展出去。以范畴论为核心的公理思想为数学家的思维带来了一次飞跃，而布尔巴基学派正好错过了这一革命性的思想。
布尔巴基完成了大一统时代交给它的任务，如今各个分支虽说仍暗含关联，不同方向的数学家却早已形同陌路。那么我们肯定要问，对于今天的我们，布尔巴基还存在什么意义呢？
答案是布尔巴基研讨班。研讨班这种源于德国的学术会议最终在法国发扬光大，自然是布尔巴基的功劳。自1948年起，每年都会邀请或由内部人员作报告，主题是当年数学的前沿。短短数年，就成为了世界上最举足轻重的研讨班。时至今日，或许巴黎早已不是数学的麦加，布尔巴基的秘密性也不再是数学界关注的焦点，但研讨班仍散发着无穷的活力。在视频网站上，你还能找到他们讲演的实录。每年都有无数数学家受到研讨班的启发，开始一项又一项新的开拓。
去年，布尔巴基发表了他们最新版本的《谱理论》。再往前，是2016年出版了新作《代数拓扑》。风格一脉相承，却早已没有昔日风采。距离《数学原本》这一宏伟计划已经过了大半个世纪，写作却看不到尽头。他们还在一辈接一辈，书写最为纯粹的数学。或许是在等待新的时代，新的统一。
参考材料：
[1]https://www.quantamagazine.org/inside-the-secret-math-society-known-as-nicolas-bourbaki-20201109/
[2]《数学的建筑》，布尔巴基等著，胡作玄等译