本文来自微信公众号：Nature Portfolio （ID：nature-portfolio），作者：Davide Castelvecchi，原文标题：《数学家张益唐宣布解开黎曼猜想相关问题》，头图来自：视觉中国
一位数学家在2013年攻克了关于素数的一个百年问题后一举成名。现在，这位数学家宣布他又下一城。这次他解出的问题和数学界公认最重要的问题之一——黎曼猜想（Riemann hypothesis）——类似，但并不是同一个。
加州大学圣芭芭拉分校的数论学家张益唐于11月4日将他的解——一份111页的预印本论文——发布在了预印本服务器arXiv上[1]。这篇论文尚未经过同行审议，如果确认正确，就可以掌握素数——只能被1和它自己整除的整数——的出现频率。
朗道-西格尔零点猜想（Landau-Siegel zeros conjecture）类似于黎曼猜想，有些人认为难度低于黎曼猜想。黎曼猜想也是一个有关素数出现频率的问题，是数学界尚未解决的一个重大难题。虽然早在几千年前，人们就知道素数有无穷多个，但没有一种方法能预测某个特定的数是不是素数，只能根据其大小判断其为素数的概率。解开黎曼猜想或朗道-西格尔猜想都能让素数的分布不再有很高的统计涨落。
加拿大蒙特利尔大学的数论学家Andrew Granville说：“对该领域的我来说，这个结果的意义非常重大。”但他提醒说，其他人——包括张益唐本人——也曾提出过其他解法，最终却被发现有问题。研究人员还需要一些时间来研读张益唐的证明才能知道结果对不对。“现在，我们离确认还有很远。”
张益唐没有回复《自然》的评论请求，但他在中国网站知乎上做出了有关他最新成果的回答。他写道，“关于Landau-Siegel猜想，我没有想过放弃。”文中还提到，“关于我的未来，这些数学问题我是不会丢掉的。我觉得我大概这一辈子就是做数学的命了，我不做数学都不知道干什么。别人谈过有没有退休的问题，我说如果我真的离开数学了，我确实不知道我该怎么活。”
我行我“素”
10月中旬就有传闻说张益唐在朗道-西格尔问题上取得了突破，而数学界一直在静静等待。张益唐此前只做出过一个重要成果，但那是可以青史留名的成果。在1991年取得博士学位后，他和导师不欢而散，靠打散工谋取生计。之后他在美国新罕布什尔大学找到了一个教职，在那里默默地钻研他感兴趣的问题——素数的统计性质。他在2007年发布了一篇关于朗道-西格尔定理的预印本论文[2]，但其他数学家发现其中有问题，最后该论文没有发表在同行审议的期刊上。
张益唐的第一个重大突破是2013年做出的。他证明出虽然相邻素数之间的间隔总体上说会越来越大，但距离小于某个有限值的相邻素数对有无穷多个[3]。这是解开一个重要数论问题——即是否有无穷多个差为2的素数对，例如5和7或11和13——的首个重大进展。（今年7月，英国牛津大学的数论学家James Maynard通过改进张益唐的结论获得了菲尔兹奖。）
张益唐这次宣布解决的问题可以追溯到20世纪初，当时数学家在探索有什么办法能掌握素数的出现频率。一种数素数的办法是把它们拆成有限个类别，把除以特定素数p后余数相同的那些数分在同一类。例如，素数除以p=5的时候，余数可能是1、2、3或4。19世纪早期的一个结论表明——只要统计样本足够大——这四种可能性“最终”会变得等可能。但Granville解释道，这里的主要问题在于，统计样本要多大才能出现这种“等可能分布”的模式：“‘最终’意味着什么？它们什么时候才会开始均匀分布？”
当时人们掌握的方法表明，这个样本应该大得惊人，而且随p的大小指数级上升。但是德国数学家卡尔·路德维希·西格尔（Carl Ludwig Siegel）找到了一个相对简单的公式，和这个分类数素数的问题有关，并有望使所需的样本大大缩小。他证明出在某些条件下，如果这个公式不等于0，就等于是证明了猜想。Granville说：“他清除了前行路上的所有枯木，只剩下一颗巨树需要砍倒。”这个问题同时由艾德蒙·朗道（Edmund Landau）独立提出，因此被称为朗道-西格尔零点猜想。张益唐宣布证明的是该猜想的一个弱形式，但在素数分布问题上能产生类似结果。
未解之谜
这个猜想是黎曼猜想的一个相关问题。黎曼猜想是数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）于1859年提出的一种方法，可以预测某个范围内素数的出现频率。
在接下来的好多年里，黎曼猜想可能会一直排在数学家的心愿单榜首。2000年，总部已迁至英国牛津的克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）将黎曼猜想列入了它的七个千禧年大奖难题（Millennium Problems），为能证明这一猜想的人提供100万美元的奖金。虽然这个问题很重要，但目前没有人取得过实质性进展。只有最勇敢的数学家——通常是那些已经取得重大成果和荣誉傍身的人——才会公开承认自己在尝试证明它。“黎曼猜想是那种问题——人们不会去谈论它，”美国罗格斯大学的数论学家Alex Kontorovich说，“大家都是自己偷偷研究。”
虽然证明黎曼猜想的进展陷入停滞，但是朗道-西格尔问题可以提供类似思路，他说，“解决其中任何一个问题都会是理解素数分布的重大突破。”
参考文献：
1. Zhang， Y. Preprint at https://arxiv.org/abs/2211.02515 (2022).
2. Zhang， Y. Preprint at https://arxiv.org/abs/0705.4306 (2007).
3. Zhang， Y. Ann. Math.179， 1121–1174 (2014).
原文以Mathematician who solved prime-number riddle claims new breakthrough为标题发表在2022年11月11日《自然》的新闻版块上
本文来自微信公众号：Nature Portfolio （ID：nature-portfolio），作者：Davide Castelvecchi