小天线晃动超高层大楼，原来只要两个条件

本文来自微信公众号：赛先生（ID：mrscience100），作者：曲哲（中国地震局工程力学研究所），责编：王一苇，题图来自；视觉中国

5月18日下午，深圳市355.8米高的赛格大厦突然晃动，把成千上万的用户“晃”了出来^[1]，让工程振动问题再次出圈（上一次是去年的虎门大桥，还记得吗？）。据次日的《每日经济新闻》报道^[2]，有关专家经研判初步认为，赛格大厦“是上下震颤而不是左右摆动”，而造成震颤的原因是“多种因素耦合，主要是风的影响，还有地铁运行和温差温度的影响。”

对于“上下震颤”，笔者百思不得其解。至于“主要是风的影响”，倒是很有预见性的判断。具体是什么影响？多位专家判断，是某一速度的风场导致赛格大厦顶部的天线发生共振，并造成大厦整体晃动。

当笔者八岁的儿子听到这个解释时，也是一脸惊讶地不断追问：“真的吗？怎么可能？！”这听起来确实有点儿反常识。毕竟大厦是个重达几十万吨的庞然大物，而天线只有几吨重。这已经不是“四两拔千斤”，而是“半两拔万斤”了！

图源：澎湃新闻引用网友视频[3]

两根小小的天线，是怎么让超高层大厦这样的庞然大物晃动起来的呢？

然而，这事儿还真有可能发生，只要同时满足两个条件：一是发生共振；二是阻尼足够小。

在解释这两个条件之前，我们先来看看关于赛格大厦的振动，我们都知道些什么。

1. 大厦和天线的两种振动

振动，说白了就是物体的往复运动。既然是“往复”运动，就要来来回回。有点儿像折返跑，只去不回的不叫振动。

折返的距离相当于振动的幅值；而单位时间内折返的次数，就是振动的频率；折返一圈所用的时间，就是振动的周期。

先来看赛格大厦整体的晃动：

图源：澎湃新闻引用网友视频^[3]

如果建筑安装了地震反应观测系统，就可以在遇到突发状况时测得其振动的准确数据。我国《建筑抗震设计规范》^[4]建议为超高层建筑设置地震反应观测系统，但并非强制性要求。而赛格大格竣工于1999年，那时还没有设置观测系统的要求。所以很遗憾，我们只能通过网友们拍摄的视频来猜测赛格大厦在5月18日下午的实际振动情况。

网上传播的动图时长只有两秒，看不到完整的一次折返，但起码可以说明这个振动的周期是几秒量级的。至于振幅，300米高的楼如果晃得肉眼都轻易察觉了，振幅至少得以米为单位计了。

至于天线，笔者粗略数了一下，按视频里的节奏，晃动24圈用了13秒，所以频率约为24/13=1.85赫兹，和相关报道^[5]所述的2赫兹左右的振动频率还挺接近的。至于振动的幅值，目测约为全高的5%量级，按天线全高13米计，振幅在半米的量级。

如果这两个视频属实，也没有什么视觉陷阱的话，那么相比之下，天线晃动的频率高，幅值小；而大楼晃动的频率低，幅值大。

问题来了，高频低幅的天线振动可能引起低频高幅的大楼振动吗？

仅凭这两个模糊的视频，不可能对赛格大厦的振动给出确凿的解释。据了解，目前有上百名工程技术人员正在赛格大厦现场开展多种多样的测试工作。通过分析这些测试数据，人们将更清楚地了解赛格大厦的动力特性，从而有可能破解它的振动之谜。让我们拭目以待。在调查结果出来之前，不妨从结构动力学的角度探讨一下上述问题。

2. 当数十万吨大厦遭遇共振

理解共振的第一把钥匙是“频率比”。

想象一个倒立的单摆，上面顶了一个只有质量但没有形状和体积的点。戳一下质点，它就会自由自在地发生振动，虽然振幅会慢慢衰减直到完全静止，但振动的频率基本是不变的。这个振动叫“自由振动”，这个频率叫物体的“自振频率”，经常也叫基本频率，或基频。自振频率是物体的固有属性。不论它是否振动，它的自振频率就在那里；当物体受到外力作用振动起来时，自振频率才会现身。

目前掌握的测试结果表明，赛格大厦的一阶自振频率约为0.17赫兹^[4]，相应的一阶自振周期是1除以0.17赫兹等于5.88秒。如果大厦以一阶自振频率发生振动，大概就是上文视频中大厦缓慢摇摆的样子。

等一下，自振就自振，怎么还有一阶自振？难道还有二阶三阶四五阶？这个“阶”又是个什么东西？我们稍后再做解答。

回到那个倒立的单摆。如果不是给它施加一个初始的位移就松手，而就持续施加具有一定频率和幅值的外力，质点会作何反应呢？

这时不但需要考虑物体的自振频率，还需要考虑外力作用的频率。其控制参数就是频率比，即周期性外力的频率和物体自振频率之比。例如下图是频率比为0.3时的例子。

有意思的是，当频率比为1，即外力的频率和结构的自振频率相同时，质点的振幅会不断增大，直到宇宙的尽头。换句话说，如果用一个固定幅值的外力，以一定的频率（即大厦的自振频率）作用在大厦上，不论大厦多么庞大，总可以把它晃倒！但是，这种情况和现实之间还有一定的差距。

3. 理解共振的第二把钥匙——阻尼

到此为止，一直没有提到在本案中一个非常重要的角色——阻尼。在现实世界中，物体振动的能量总会或多或少地有所消耗，导致振幅衰减。这也是自由振动的物体迟早会停下来的原因。这种衰减的效果确实存在，但又说不清道不明，强名之曰“阻尼”。通常用“阻尼比”（本文记为h）衡量阻尼的大小。

上面说的当频率比为1时结构反应趋于无穷大的现象，只会出现在无阻尼体系中，即阻尼比h=0。只要结构有一点点阻尼，反应就不会无限增大，而是增大到一定幅值之后就会稳定下来。

对于那个倒立的单摆，如果假设阻尼比h=5%，那么它在发生共振时的反应如下图所示。5%是抗震设计中通常假设的混凝土结构的阻尼比^[5]，但是实际建筑（特别是超高层建筑）的阻尼比有没有这么大，是很值得怀疑的。

阻尼比越小，物体发生共振时的振幅越大。而且振幅对阻尼比的大小非常敏感。如果几个胖子站在楼板中央能让楼板产生1毫米的变形，那么他们如果一起以楼板的自振频率（频率比=1）持续地做蹲起运动，使楼板发生共振，那么楼板的振幅将不断增大，直到达到[1/（2h）]毫米才会稳定下来。假如楼板的阻尼比h=5%，那么最终的振幅仅为10毫米；而如果楼板的阻尼比h=1%，那么他们将能够使楼板的振幅达到50毫米，也就是5厘米！

在电视里有时会看到骚乱群众周期性地摇晃路边停靠的小轿车并最终将车掀翻，也是利用了共振。持续不断地以某个特定的频率（即轿车悬挂系统的自振频率）晃动轿车，因为悬挂系统的阻尼很小，完全可以“四两拔千斤”。

4. 天线振动能够引起大厦共振吗？

掌握了频率比和阻尼比这两把钥匙，我们可以回到最开始提出的天线振动是否可能造成大厦振动的问题了。

首先排除大厦振动引起天线振动的可能性。如果大楼在某种神秘能量的激励下发生如视频所示的一阶振动（自振频率为0.17赫兹），而天线的自振频率约为1.85赫兹，前者对于后者的频率比只有0.09，远小于1。因此不管阻尼比有多小，都不可能发生共振。

反之，如果是天线在风的作用下发生如视频所示的频率为1.85赫兹的振动，那么相对于大厦的一阶频率，频率比高达10.9，远大于1，也不可能发生共振。

所以，我们在本文开头的两段视频里看到的那两种振动，即天线的一阶振动和大楼的一阶振动，不可能互为因果。

那么，是什么样的振动把成千上万的用户 “晃” 出来的呢？

上文提到过，大厦不仅有一阶振动，还有更高阶的振动。而这是因为大厦的质量并非集中在一个点上，而是几乎均匀地分布在各个楼层。和顶着一个质点的倒立单摆相比，大厦更像是一把钢尺。

为了理解这一点，请大家拿出一根钢米尺，注意一定要是米尺，太短的尺子不容易玩儿出花样。把米尺的一端用两个木工夹固定在桌子上，像下图那样。家里没有木工夹的话找朋友帮忙摁着也行。

现在把尺子远离桌子的一端向下（或者向上）推一定的距离然后松手，尺子将开始自由振动。像不像刚才动图里赛格大厦的晃动？这差不多就是被夹住的尺子的一阶自振。这时的振动频率就是它的“基频”，也就是一阶自振频率。

现在换一种方式，在将尺子的远端向下推一定距离的同时，用另一只手把尺子的中间向上推大致相同的距离，然后两只手同时释放。尺子是不是也会发生自由振动，但是和刚才的形状不太一样了？不但振动的形状（即“振型”）改变了，振动的频率也增大了，有没有？这差不多就是被夹住的尺子的二阶自振。这个频率就是它的二阶自振频率。

如果把尺子掰成其他形状然后释放，还可以激发出更多形状的自由振动。换句话说，同一把尺子，可以表现出许多（理论上有无穷多）不同形状的自由振动。

把所有这些自由振动按自振频率从小到大排序，频率最小的称为“一阶自振”，其余的通通称为“高阶自振”，依次为二阶、三阶、四阶……各阶自振的频率和形状都是尺子自身固有的特性，不受外界因素影响。至于在振动中主要表现出哪一阶特性，就要看外部施加的是什么样的初始条件（比如刚才先把尺子掰成一定的形状）或者外力的频率成分了。

从网上传播的当时大厦内部的视频可以看到，室内壶中液面晃动的频率倒是很接近天线振动的频率。天线的1.85赫兹左右的振动虽然无法激励起大楼的一阶振动，却不能排除它激励起大楼的某个自振频率在1.85赫兹附近的高阶振动的可能性。

图源：沸点资讯[6]

不妨粗略地估算一下。大厦总建筑面积16.43万平方米，假设单位面积的质量1.3吨，总计约21.3万吨。大厦高71层，假设各层质量和刚度皆均匀分布，每层质量约为3000吨，大厦的前六阶自振频率分别为0.17赫兹、0.51赫兹、0.85赫兹、1.53赫兹和1.87赫兹。

也就是说，大厦的第六阶自振频率接近天线的1.85赫兹。这样算，天线和大厦的频率比已经很接近1了，具备发生共振的条件。

而如果将两根高13米的天线视为两个质量为3吨、偏心距为0.5米的激振器，当它们以1.85赫兹的频率工作时，每个的激振力幅值约为200千牛，合起来相当于40吨重物的重力。

在弹性范围内时，总重达21万吨的大厦的振动等于各阶振动的叠加，而每一阶振动都相当于一个倒立的单摆。当天线施加给大厦的外力幅值为400千牛、频率为1.85赫兹时，将激发起大厦的第6阶共振，而其他各阶振动则相对微弱，如下图所示。

此外，如上文所述，要达到足以引起人恐慌的振幅，除了发生共振之外，还需要满足另一个条件：阻尼比足够小。

多小算小呢？

根据结构动力学的基本分析，第6阶振动达到稳定状态时的位移幅值和加速度幅值都取决于阻尼比h,分别约为（0.013/h）毫米和（0.00182/h）m/s2。由此可见，只要大厦的第6阶阻尼比h<0.72%，其加速度幅值就可以超过0.25m/s2的高层办公楼舒适度限值^[7]，而此时大厦的位移幅值只有1.8毫米。

值得注意的是，虽然抗震或抗风设计时往往假设建筑结构具有2%至5%的阻尼比，但是国内曾经有学者测试过其他超高层建筑的阻尼比，只有0.5%左右^[8]。所以天线振动导致高楼摇晃并非天方夜谭。

以上分析中使用的结构模型和对结构参数的估计都非常粗略，使用了大量的假设。这一分析只是从结构动力学的角度说明了天线振动导致高楼摇晃的可能性确实存在，但是并不能证实这一因果关系。分析中使用的参数是否准确，所做的假设是否成立，只能向现场数据要答案。其中很值得关注的一个问题是，大厦的阻尼比到底是多少。这是个很难的问题。

除了以天线振动和大厦振动为因果的解释之外，有没有可能二者之间并不存在因果关系，而是如下图所示的叉形结构呢？由于无法再现事发当时的风场，这一猜测也可能永远只能是个猜测。

5. 如何避免大厦振动？

根据上述分析，即使大厦因为第6阶共振而产生了令人不适的加速度，其最大位移反应也只有几毫米。对于主体结构将近300米高的大厦而言，这么小的变形完全不会对结构安全构成威胁。

至于如何避免或者削弱这种恼人的振动，从避免共振的角度来看，一是调节频率，二是增加阻尼。笔者比较看好第二种，因为阻尼的大小也是结构自身的固有属性，什么外部激励来了都能消耗能量；就像我们通过诚实劳动发表的论文，谁也拿不走。刚才也说了，高层特别是超高层建筑自身的阻尼可能很小，在进行抗震和抗风设计时如何合理取值，是一个有意思的问题。另外，这几天网上已经有不少关于在结构中设置各种阻尼器以增大阻尼的文章了，介绍得很全面了，就不多说了。

笔者不在现场也不掌握数据。赛格大厦振动的真实原因尚有待辛勤奋战在一线、掌握第一手资料数据的工程技术人员来解读。以上仅从结构动力学的角度做一些粗浅的介绍，希望有助于大家更好地理解专业人士的解读。

参考文献： 

[1] 红星新闻：深圳华强北355米高楼突发晃动，官方回应https://mp.weixin.qq.com/s/ZXLf3vh1-gD6g6-ScaxVig

[2] 每日经济新闻：深圳赛格大厦“晃动”调查：6年前曾发生类似情况！2.7天盖一层楼https://www.sohu.com/a/467571968_115362#:~:text=%E6%8C%89%E7%85%A75%E6%9C%8819%E6%97%A5,%E4%B8%BB%E4%BD%93%E7%BB%93%E6%9E%84%E6%98%AF%E5%AE%89%E5%85%A8%E7%9A%84

[3] 澎湃新闻：深圳70层高楼摇晃，有人逃离时跑断鞋！最新情况来了https://mp.weixin.qq.com/s/W7dHK000vRVIvQu9EefvYQ

[4] 中华人民共和国国家标准. 建筑抗震设计规范GB50011-2010.中华人民共和国住房和城乡建设部, 中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局.

[5] 哈工大深圳：热点关注 | 深圳卫视采访肖仪清教授解读赛格大厦振动事件https://mp.weixin.qq.com/s/MeiKtKt1vZPe6I8PFKrfOA

[6] 沸点资讯http://f.video.weibocdn.com/T0QDTwMHlx07MKRTuByg01041200keRf0E010.mp4?label=mp4_720p&template=720x1280.24.0&trans_finger=c3f00996be5378650057cf237d7bfffd&ori=0&ps=1A1eh1m4ElLYfp&Expires=1622255968&ssig=1QvC1fosns&KID=unistore,video

[7] 中华人民共和国行业标准. 高层建筑混凝土结构技术规程JGJ3-2010. 中华人民共和国住房和城乡建设部.

[8] 黄本才. 高层建筑钢结构振动阻尼比测试与分析. 结构工程师1997(4): 20-24DOI: 10.15935/j.cnki.jgges.1997.04.005

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