2021年10月1日将迎来杨振宁先生的百岁华诞。（杨先生实际年龄99岁，虚岁一百，官方文件上的生日是9月22日。）我们特发表此文，为杨先生贺。本文来自微信公众号：普林小虎队（ID：PUTigersJr），作者：倪忆，题图来自：视觉中国
杨振宁先生（1922.10.1— ）从来不认为自己是一位数学家。事实上，杨先生曾经说过：“现今只有两类数学著作。一类是你看完了第一页就不想看下去了, 另一类是你看完了第一句话就不想看下去了。”
然而，杨振宁先生对现代数学有着广泛而深远的影响。在20世纪后半叶的物理学家里，恐怕只有威腾（Edward Witten，1951— ）对数学的影响能够跟杨先生相提并论。本文试图对杨先生的数学贡献作一些简单介绍。需要说明的是，这里涉及到许多非常深刻的数学，作者本人了解的仅仅是其中一小部分，错漏之处在所难免，希望大家指正。
杨-米尔斯理论
杨振宁先生最重要的成果是杨-米尔斯理论（Yang-Mills theory），这是一种非阿贝尔规范场论（nonabelian gauge theory）。规范场论的思想在麦克斯韦（James Maxwell，1831—1879）的电磁学理论里便已经出现。
1918年，外尔（Hermann Weyl，1885—1955）试图统一电磁场和引力场，在场论中引入了一个尺度因子。这个尺度因子带来了一定的冗余度，需要选定一个“规范”（gauge）来剔除此冗余度。外尔的这一尝试并未成功，爱因斯坦（Albert Einstein，1879—1955）高度评价其中的数学，却强烈批评其中的物理。[1]
外尔最初引入的尺度因子是正实数。量子力学兴起后，外尔在1929年修改了他的规范场论，把尺度因子改成模长为1的复数，用以描述电磁场。福克（Vladimir Fock，1898—1974）和伦敦（Fritz London，1900—1954）等人也在这一时期作出了类似发现。
1941年，泡利（Wolfgang Pauli，1900—1958）把规范场理论普及给物理学界。在数学里，所有模长为1的复数组成一个群U(1)。这个群被称作外尔规范场论里的规范群。如果一个群里的乘法是可交换的，这个群就被被称作阿贝尔群，反之就是非阿贝尔群。例如大多数矩阵群都是非阿贝尔群，因为乘法交换律对于矩阵乘法不成立。外尔理论里的规范群是阿贝尔群，所以外尔理论是一个阿贝尔规范场论。
我们知道，自然界中有四种基本力：电磁力、弱相互作用、强相互作用、万有引力。外尔等人的工作把电磁力用U(1)规范场论来描述，而万有引力的物理理论则是爱因斯坦的广义相对论。1954年，杨振宁和米尔斯（Robert Mills，1927—1999）把规范场论里的规范群从U(1)改成二阶正交酉矩阵群SU(2)，建立了第一个非阿贝尔规范场论。
杨振宁和米尔斯最初想用这一理论来描述强相互作用，但这并不正确。经过后来许多物理学家的努力，SU(2)规范场论被成功地用于描述弱相互作用。而强相互作用则需要使用规范群为SU(3)的规范场论，通常也被称为杨-米尔斯理论。
统计学家斯蒂格勒（Stephen Stigler，1941— ）曾提出一个“斯蒂格勒定律”，即“没有一个科学发现是以最初发现者的名字来命名”。斯蒂格勒定律本身就符合这一定律，因为斯蒂格勒认为这个定律是默顿（Robert Merton，1910—2003）首先提出的。
杨-米尔斯理论也符合斯蒂格勒定律，泡利在1953年就得到了一个类似的理论。日本物理学家内山龙雄（1916—1990）为了统一万有引力和电磁力，在1954年独立提出了非交换规范场论。他曾在京都大学作报告，但没有得到听众的积极回应。
得知杨-米尔斯的工作后，内山龙雄在1955年把自己的论文修改成为一个更广泛的规范场论，并在1956年发表。比杨振宁和米尔斯稍晚，萨拉姆（Abdus Salam，1926—1996）的学生萧（Ronald Shaw，1929—2016）在1955年也独立发现了杨-米尔斯理论。
尽管泡利、内山、萧都独立于杨振宁和米尔斯得到了非交换规范场论，但杨振宁和米尔斯毫无疑问应当获得最大的荣誉。泡利和萧的工作都没有发表，因为他们对其中的物理图景不甚明了。内山发表论文在杨-米尔斯之后，且受到杨-米尔斯的影响。只有杨振宁和米尔斯将这个尚存瑕疵的理论率先发表出来，让后来者得以在此基础上进行研究。
一个经常被提到的故事是，当杨振宁在普林斯顿作杨-米尔斯理论的报告时，台下的泡利不停地问他非阿贝尔规范玻色子的质量是什么。泡利曾经深入研究过这一问题，知道质量应该是零，而这是不可能的。杨振宁回答说他不知道，但泡利一再追问。杨振宁认为泡利的敌意过重，干脆停止演讲坐到台下，场面一时十分尴尬。
最后，奥本海默（J. Robert Oppenheimer，1904—1967）说，“我们应该让杨振宁继续讲。”杨振宁才回到讲台上，而泡利也没有问更多的问题。[2] 杨-米尔斯理论中的质量问题直到六十年代才通过希格斯机制得到解决。
杨振宁和米尔斯建立了杨-米尔斯理论的数学形式，其物理应用则应归功于后来者。然而，与杨-米尔斯理论有关的数学成为现代数学里一个重要组成部分。1969年，杨振宁在纽约州立大学石溪分校讲授一门广义相对论课程。
一天，他在黑板上写下广义相对论所需要用到的黎曼曲率张量公式，突然发现这个公式很像杨-米尔斯理论里的一个公式。他十分震惊，便去请教数学系主任西蒙斯（James Simons，1938— ）。西蒙斯告诉他这两个公式都是纤维丛（fiber bundle）上的联络（connection）。杨振宁被这一美妙的联系深深地震撼了。[3]
1975年，杨振宁同吳大峻（1933— ）发表一篇论文，把纤维丛的数学语言翻译为杨-米尔斯理论的物理语言，引发了数学界和物理学界对彼此工作的浓厚兴趣。这就是著名的吴-杨字典（Wu-Yang dictionary）。
事实上，关于纤维丛与杨-米尔斯理论的关系，在吴-杨字典之前就有一些人提到。例如赫尔曼（Robert Hermann， 1931—2020）在1970年的一本专著中对此有详细阐述。但此类工作没有产生吴-杨字典那样的影响，这或许也可以算作斯蒂格勒定律的一个例子。
七十年代后期，辛格（Isadore Singer，1924—2021）把吴-杨字典介绍给数学界，引发了数学家们学习杨-米尔斯理论的热潮。一大批崭新的数学工作得以诞生，为数学发展提供了新的动力。以下简要介绍其中一部分。
杨-米尔斯理论中出现了一个偏微分方程：
被称为杨-米尔斯方程。1974年，杨振宁访问其父杨武之（1896—1973）生前任教的复旦大学。他同谷超豪（1926—2012）、胡和生（1928— ）等人谈起杨-米尔斯理论中的数学问题。双方展开合作，在国际上率先对杨-米尔斯方程进行研究，解决了该方程的许多基本问题。
1977-1978年，阿蒂亚（Michael Atiyah，1929—2019）、希钦（Nigel Hitchin，1946— ）和辛格证明了四维球面上杨-米尔斯方程的解的模空间是一个流形，并用指标定理计算了其维数。1978年，阿蒂亚、希钦、德林菲尔德（Vladimir Drinfeld，1954— ）、马宁（Yuri Manin，1937— ）四人合写一篇论文，完全确定了这一模空间。
1982年，乌伦贝克（Karen Uhlenbeck，1942— ）证明了杨-米尔斯方程解的许多基本性质，包括（四维的）可去奇点定理和（任意维数的）紧性定理。田刚（1958— ）和陶哲轩（1975— ）后来把可去奇点定理推广到了高维。
1982年，陶布斯（Clifford Taubes，1954— ）发现了一种新的构造杨-米尔斯方程解的方法，对于一大类四维流形证明了解的存在性。复流形上杨-米尔斯方程的研究始于阿蒂亚和博特（Raoul Bott，1923—2005）在八十年代初的工作。
小林昭七（1932—2012）和希钦猜测复流形上杨-米尔斯方程的解跟向量丛的稳定性有关，这一猜想被唐纳森（Simon Donaldson，1957— ）、乌伦贝克和丘成桐（1949— ）解决。受此启发，丘成桐对复流形的凯勒-爱因斯坦度量作出类似猜想。田刚和唐纳森进一步阐述了丘成桐的猜想，引入了K-稳定性的概念，在复几何和代数几何领域起到了核心作用。
希钦在1987年定义了一维复流形上的希格斯丛，并研究了其上的杨-米尔斯方程。辛普森（Carlos Simpson，1962— ）把希钦的工作推广到了高维。希格斯丛是近年来几何拓扑领域的研究热点，并且在数论和表示论中得到了出乎意料的应用。吴宝珠（1972— ）使用希钦的工作证明了朗兰兹纲领中的“基本引理”，并因此获得2010年菲尔兹奖。1986年菲尔兹奖得主法尔廷斯（Gerd Faltings，1954— ）开创了p进数域上希格斯丛的研究。
卡普斯金（Anton Kapustin，1971— ）和威腾则使用希钦的工作（及其推广）来研究几何朗兰兹纲领。杨-米尔斯方程最著名的数学应用是在低维拓扑领域。1983年，在乌伦贝克和陶贝斯工作的基础上，唐纳森使用杨-米尔斯方程研究四维流形的微分拓扑，取得了令人惊异的结果。
把唐纳森和弗里德曼（Michael Freedman，1951— ）的工作结合起来，能够证明四维空间R4上有怪异的微分结构，而这一点对其余维数的欧氏空间不成立。唐纳森后来进一步发展了他的理论，定义了光滑四维流形的不变量。唐纳森因此获得1986年菲尔兹奖。
1988年，弗洛尔（Andreas Floer，1956—1991）把唐纳森理论发展到了三维流形上，定义了瞬子同调论。1998年，唐纳森和他的学生托马斯（Richard Thomas）使用SU(4)规范场论来研究卡拉比-丘三维复流形。2006年菲尔兹奖得主奧昆科夫（Andrei Okounkov，1969— ）和他的合作者们对唐纳森-托马斯理论有重要贡献。
唐纳森理论的思想如今在低维拓扑、辛几何、代数几何、复几何等许多领域里都占据着主导地位，其后续发展包括格罗莫夫-威腾理论、塞伯格-威腾理论等等，尽管杨-米尔斯方程在这些理论里已经不再出现。杨-米尔斯方程在低维拓扑里的另外一个应用跟琼斯多项式有关，这是琼斯（Vaughan Jones，1952—2020）在1984年发现的一个新的纽结不变量。
威腾在1989年指出，琼斯多项式可以用杨-米尔斯理论来解释。威腾的思想被雷希蒂欣（Nicolai Reshetikhin，1958— ）和图拉耶夫（Vladimir Turaev，1952— ）发展为严格的数学理论，可以用来构造一般三维流形的不变量。
近二十年来，琼斯多项式的一个推广——霍瓦诺夫同调论（Khovanov homology）——成为低维拓扑里的研究热点。威腾同样用杨-米尔斯理论给出了霍瓦诺夫同调论的一种解释，引发了许多数学家的关注。
杨-巴克斯特方程
杨振宁另外一项对数学有深远影响的工作是杨-巴克斯特方程。这是一个矩阵方程，涉及了非线性可积物理模型的严格解。
杨-巴克斯特方程最早可以追溯到昂萨格（Lars Onsager，1903—1976）在1944年关于二维伊辛模型的工作，其中使用了星形-三角形方程。[4] 1963年，UCLA的一名博士生麦奎尔（James B. McGuire，1934—2019）在研究一维量子多体问题时发现了类似的矩阵方程。
杨振宁在1963年访问UCLA时，跟麦奎尔讨论了一维量子多体问题。当时杨振宁已经是名满天下的诺贝尔奖得主，而麦奎尔仅仅是一个博士尚未毕业的无名小卒，然而杨振宁并未因此轻视麦奎尔的工作。
受到麦奎尔的启发，杨振宁在1967年和1968年的两篇论文里提出了现今形式的杨-巴克斯特方程。后来巴克斯特（Rodney Baxter，1940— ）在1971年和1972年的两篇统计力学论文里也独立发现了此方程。
七十年代末，法捷耶夫（Ludvig Faddeev，1934—2017）领导的苏联数学物理学派将这一方程命名为杨-巴克斯特方程，并深入研究其在数学和物理里的应用。受他们工作的影响，德林菲尔德和神保道夫（1951— ）开始了“量子群”的研究。德林菲尔德甚至将一类量子群命名为“杨代数”（Yangian），以纪念杨振宁的贡献。杨-巴克斯特方程可以看作是数学中“辫群”的一个基本关系，能够用如下“辫子”的图像来表示。
上图中的辫子关系在纽结的琼斯多项式里起到重要作用。图拉耶夫发现，包括琼斯多项式在内的许多纽结不变量都可以从杨-巴克斯特方程的解得到。雷希蒂欣和图拉耶夫进一步的工作则是使用量子群来构造纽结不变量。
1990年四位菲尔兹奖得主中，德林菲尔德、琼斯和威腾的（部分）获奖工作都跟杨-米尔斯理论和杨-巴克斯特方程有密切关系。森重文（1951— ）是一位代数几何学家，他的获奖工作跟物理没有直接联系。近年来许晨阳（1981— ）等人的工作把森重文开创的极小模型纲领同K-稳定性结合起来，而K-稳定性很大程度上是受杨-米尔斯理论启发而建立起来的。
李-杨单位圆定理
李政道与杨振宁在1952年发表了两篇统计力学方面的论文，其中证明了某一类配分函数的零点都在单位圆上，这就是著名的李-杨单位圆定理。爱因斯坦对这一工作非常感兴趣，邀请李杨二人到他的办公室去讨论了一个半小时。[5]
李-杨定理依赖于一个纯数学结果，即某一类多项式所有零点都在单位圆上。为了证明这一结果，李杨二人翻阅了哈代（G. H. Hardy，1877—1947）、李特尔伍德（John Littlewood，1885—1977）、波利亚（George Pólya，1887—1985）所著的《不等式》一书，还咨询了冯·诺伊曼（John von Neumann，1903—1957）和塞尔伯格（Atle Selberg，1917—2007）等同事。
卡茨（Mark Kac，1914—1984）当时在普林斯顿高等研究院访问，他听到李杨的问题后，立刻想到了波利亚一篇关于黎曼假设的论文，并用其中的方法证明了李杨所需结果最简单的情形。卡茨将此事告知了李杨。受此启发，杨振宁和李政道继续研究了几个星期，终于用卡茨的方法以及数学归纳法证明了最广泛的情形。[6]
李-杨单位圆定理是统计力学里的重要工作，但它对数学的影响远不能同杨-米尔斯理论和杨-巴克斯特方程相提并论。然而，这个定理的叙述跟黎曼假设非常相像。如果作一个变量替换，就能把李-杨定理叙述成：某一类配分函数的零点都在虚轴上。黎曼假设说的是黎曼ζ函数：
的非平凡零点都在直线Re(s)=1/2上。故此，有一部分数学家希望能够把黎曼ζ函数表示为某个物理系统的配分函数，从而研究黎曼假设。（用物理方法研究黎曼假设是当前的一个流派，这方面更常见的工作是将量子力学与黎曼ζ函数联系起来。）
杨振宁的纯数学工作
杨振宁曾多次表示，如果自己不做物理，一定会去做数学。[5,7] 事实上，除了数学物理方面的众多成果以外，杨振宁也发表过一些纯数学论文。这些工作对于杨振宁这样的科学巨人来说无足轻重。然而，从这些论文中可以看出，跟许多其他理论物理学家不同，杨振宁也可以有跟数学家一样的品味，使用跟数学家一样的语言。
杨振宁发表的第一篇论文就是纯数学论文。这是他在西南联大时写的，题为On the uniqueness of Young's differentials（Young微分的唯一性），1944年发表在《美国数学会通报》（Bulletin of the American Mathmatical Society）上。这篇论文的水平不高，杨振宁对它也很不满意。杨振宁最初仅仅是把它当作学习微积分的课外练习，几年后才在授课老师曾远荣（1903—1994）的建议下投寄出去发表。[8]
杨振宁的父亲杨武之教授在芝加哥大学获得博士学位，归国后任教于清华大学数学系，是中国数论研究的先驱。在杨武之的博士论文里，他考虑了华林问题的一个变种：求最小的k，使得任何一个自然数能够表示为最多k个“金字塔数”之和。这里的“金字塔数”指形如
的数。杨武之证明了k不超过9，这一结果后来被人改进为8。
1993年，杨振宁和邓越凡（1962— ）用计算机研究了这一问题，发现十亿以内的自然数都能表示为至多5个金字塔数之和，并且其中足够大的数表示为至多4个金字塔数之和。据此，他们猜想足够大的自然数都能表示为至多4个金字塔数之和。他们进一步猜想了能表示为至多k个金字塔数之和的自然数的个数的渐进公式。
杨振宁与陈省身
陈省身（1911—2004）和杨振宁两位先生是二十世纪华人科学家中的翘楚。他们两人私交甚笃，在学术上也有密切联系。陈省身1930至1934年间在清华大学担任助教和攻读研究生，同杨武之教授有师生之谊。陈省身与夫人郑士宁的婚事就是杨武之夫妇介绍的。陈省身曾多次到杨武之家中吃饭，见到过年仅八岁的杨振宁，但杨振宁对陈省身并无印象。[3,9] 后来杨振宁在西南联大求学期间，曾经选修过陈省身开设的多门课程，包括微分几何。[3]
陈省身是纤维丛和联络理论的主要推动者。他的陈-韦伊理论把杨-米尔斯方程中的曲率项同陈示性类联系起来，而陈-西蒙斯理论也跟杨-米尔斯理论密不可分。1975年，理解了杨-米尔斯理论与纤维丛的关系后，杨振宁驱车到陈省身家中，同他谈起此事，说：“这既令我惊讶，也令我迷惑不解，因为你们数学家凭空梦想出这些概念。”陈省身当即提出异议：“非也，非也，这些概念并非是凭空梦想出来的，它们既是自然的，也是实在的。”[3]
陈省身先生1985年在南开大学创建了南开数学研究所，他邀请杨振宁于1986年在所内建立了理论物理研究室。经杨振宁推荐，葛墨林（1938— ）具体负责理论物理研究室的工作。这一研究室主要的研究方向便是与杨-米尔斯理论和杨-巴克斯特方程相关的数学。
杨振宁在七十年代写下一首诗《赞陈氏级》，在数学与物理学界广为流传：
天衣岂无缝，匠心剪接成。
浑然归一体，广邃妙绝伦。
造化爱几何，四力纤维能。
千古寸心事，欧高黎嘉陈。
其中最后一句称赞陈省身是可以与欧几里得（Euclid，公元前3世纪）、高斯（Carl Friedrich Gauss，1777—1855）、黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866）、嘉当（Élie Cartan，1869—1951）并肩的几何学家。
2002年，江才健出版了《杨振宁传-规范与对称之美》。陈省身先生也赋诗一首作为序言：
以诗代序
爱翁初启几何门，杨子始开大道深。物理几何是一家，炎黄子孙跻西贤。注：爱因斯坦的广义相对论将物理释为几何。规范场论作成大道，令人鼓舞。
两位大师尽管身处不同领域，但他们的伟大工作相得益彰，堪称佳话。
参考文献
[1] 张天蓉，外尔与杨振宁——物理的真与数学的美 | 量子群英会
[2] Mikhail Shifman，非阿贝尔规范场的起源与争执：关于泡利与杨振宁的轶事
[3] 张奠宙，杨振宁如何看待数学与物理
[4] Helen Au-Yang and Jacques H. H. Perk, Onsager's Star-Triangle Equation: Master Key to Integrability, Advanced Studies in Pure Mathematics 19, 1989 Integrable Systems in Quantum Field Theory and Statistical Mechanics
[5] 刘钝、王浩强访问整理，爱因斯坦、物理学和人生——杨振宁先生访谈录
[6] Mark Kac， Comments on G. Pólya's "Bemerkung uber die integraldarstellung der Riemannschen zeta-funktion"
[7] 华东师范大学数学科学学院，杨振宁专程看望数学科学学院张奠宙先生
[8] 施郁，杨振宁对西南联大的新回忆
[9] 陈省身，我与杨家两代的因缘
本文来自微信公众号：普林小虎队（ID：PUTigersJr），作者：倪忆